Информатика Базовый курс (стр. 156 из 188)

Задача. Разложить вектор V=

по нормированным собственным векторам мат-

1

2 2 рицы М= 2 6 1

2 1 1

Анализ. Первый этап решения задачи состоит в нахождении собственных значений и собственных векторов данной матрицы. Затем необходимо найти вектор Т, такой, что S'T=V, где S — матрица, столбцы которой представляют собой собственные вектора матрицы М.

1. Запустите программу Mathcad.

2.

Создайте матрицу М. Начните запись оператора.присваивания, а для ввода правой части нажмите комбинацию клавиш CTRL+M, воспользуйтесь командой Insert • Matrix (Вставка • Матрица) или щелкните на кнопке Matrix or Vector (Матрица или вектор) на панели инструментов Matrix (Матрица).

3. В открывшемся диалоговом окне Insert Matrix (Вставка матрицы) укажите числострок и столбцов (по три) и щелкните на кнопке ОК.

4. Введите значения элементов матрицы в отведенные места.

5. Аналогичным образом сформируйте вектор V. Он будет представлять собой матрицу, имеющую только один столбец.

6.

Собственные значения квадратной матрицы можно получить при помощи функции eigenvals. Результатом ее работы является вектор собственных значений, присвойте его переменной L.

7. Функция eigenvec позволяет получить собственный вектор, соответствующий данному собственному значению. Ей нужны два параметра: матрица, для которой ищется собственный вектор, и собственное значение, которому он соответствует. Чтобы записать собственные вектора в качестве столбцов матрицы S, надо присвоить вычисленное значение столбцу матрицы. Столбцы матрицы в программе Mathcad выбираются специальным верхним индексом, заключенным в угловые скобки. Чтобы ввести номер столбца, нажмите комбинацию клавиш CTRL+6 или щелкните на кнопке Matrix Column (Столбец) на панели инструментов Matrix (Матрица), после чего введите номер нужного столбца матрицы. Будьте внимательны — столбцы и строки матрицы нумеруются начиная с нуля.

Глава 18. Средства автоматизации научно-исследовательских работ

8. В правой части оператора присваивания надо указать собственное значениематрицы. Собственные значения являются элементами вектора L. Номер элемента указывается как нижний индекс. Для ввода нижнего индекса нажмите клавишу [ или воспользуйтесь кнопкой Subscript (Индекс) на панели инструментов Matrix (Матрица). Итоговый оператор для первого собственного вектора будет выглядеть следующим образом:

S*⁰* := eigenvec(M,L₀)

Аналогично задайте операторы для второго и третьего собственных значений.

9.

Для нахождения коэффициентов при собственных векторах в разложении необходимо решить систему линейных уравнений. Ее удобно записать в матричной форме. Создайте вектор Г с тремя элементами. Величины этих элементов значения не имеют.

10. Запишите ключевое слово given.

11.

Ниже запишите матричное уравнение S-T=V. Знак логического равенства введите с помощью комбинации клавиш CTRL+=.

12.

Найдите коэффициенты в разложении при помощи функции find.

Мы научились производить операции с векторами и матрицами, использовать соответствующие функции, выделять столбцы матриц и отдельные элементы. Матричная запись часто позволяет представить задачу в более удобной форме.

Упражнение 18.4. Аналитические вычисления

45 мин Задача 1. На приведенной схеме сопротивление RR является переменным. Определить, как меняется ток между точками Аи В в зависимости от величины этого сопротивления.

Практическое занятие

Анализ. Перенумеровав сопротивления в указанном порядке и воспользовавшись законами Кирхгофа, получим систему уравнений, позволяющую найти величины токов.

R-I₄-R-I₃=0

Эту систему надо решить, не подставляя конкретных значений вместо параметров

R, RR и Е,

1.

Запустите программу Mathcad,

2. Введите ключевое слово given.

3.

Введите уравнения системы, полученной в ходе анализа. Обозначьте неизвестные токи переменными /О, /1,12,13,14. Фиксированное сопротивление R обозначьте переменной R0. Обратите внимание, что присваивать начальные значения токов или задавать значения переменных RO, RR и £ не требуется.

4.

Введите функцию find, перечислив в качестве параметров неизвестные /О, Л, 12,13,14. Затем введите оператор аналитического вычисления, который выглядит как стрелка, направленная вправо, и вводится комбинацией клавиш CTRL+. или кнопкой Evaluate Symbolically (Вычислить аналитически) на панели инструментов Evaluation (Вычисление).

5.

Щелкните за пределами данного блока, и программа Mathcad произведет аналитическое решение системы уравнений.

(3-RR+R0)

Полученный результат позволяет провести полный анализ схемы.

Глава 18. Средства автоматизации научно-исследовательских работ

Задача 2. Найти все корни уравнения:

(1+у-у²)² + у = 2

Анализ. Это уравнение четвертого порядка. Легко подобрать один корень {у = 1).

Остающееся уравнение третьего порядка не имеет рациональных корней, так что поиск других корней этого уравнения — дело непростое. Неясно даже, сколько еще действительных корней имеет данное уравнение. Результаты численного решения зависят от подбора начального приближения и поэтому не гарантируют отыскания всех корней уравнения. Мы же решим это уравнение аналитически.

6. Введите заданное уравнение. Чтобы раскрыть скобки, дайте командуSymbolics • Simplify (Аналитические вычисления • Упростить).

7.

Выделите в полученном уравнении независимую переменную (в данном случае у) и дайте команду Symbolics • Variable • Solve (Аналитические вычисления • Переменная • Решить).

Программа Mathcad выдаст вектор, элементами которого являются корни данного уравнения.

8.

Полученный результат содержит сложные комплексные выражения, и егоневозможно применить с пользой (все еще непонятно, являются ли корни действительными или комплексными). Чтобы разделить действительную и мнимую части, выделите результат вычисления целиком и дайте команду Symbolics • Evaluate • Complex (Аналитические вычисления • Вычислить • В комплексном виде). Если программа Mathcad не справится с преобразованием всего набора корней целиком, выполните преобразование корней поочередно: дайте команду Symbolics • Evaluate • Complex (Аналитические вычисления • Вычислить • В комплексном виде), поочередно выделив каждый из корней, записанных в комплексном виде.

9. Теперь полученное выражение надо упростить. Выделив его целиком, дайтекоманду Symbolics • Simplify (Аналитические вычисления • Упростить). Выражение станет существенно проще, причем станет понятно, что все корни уравнения действительные (все мнимые компоненты сократятся).

10. Последний шаг — раскрытие скобок, в данном случае упрощение аргументовтригонометрических функций. Для этого примените команду Symbolics • Expand (Аналитические вычисления • Раскрыть). Полученная запись — наилучшее представление точного решения, которое можно получить с помощью программы Mathcad.