Смекни!
smekni.com

Решение задачи разгона установившегося движения и замедление судна в процессе его эксплуатации (стр. 1 из 2)

Нижегородский Государственный Технический Университет

Кафедра: "Прикладная математика"

Курсовая работа по информатике

Тема: "Решение задачи разгона установившегося движения и замедление судна в процессе его эксплуатации ("Беларусь-В")"

Выполнил:

Студент

Ткачева Е.С.

Проверила:

Жданова О.С.

Нижний Новгород

2009 г .


Оглавление

1. Постановка задачи и её математическая модель

2. Методика и алгоритмы решения задач

3. Первая модельная задача

4. Вторая модельная задача

5. Третья модельная задача

6. Сводная таблица результатов и выводы


1. Постановка задачи и её математическая модель.

1.1 Общая задача описания динамики разгона (торможения) судна

Из курса теоретической механики известно, что в соответствии с принципом Даламбера неустановившееся движение тела описывается вторым законом Ньютона. Поскольку в данной задаче рассчитывается движение лишь в направлении одной из осей координат, то достаточно записать уравнения движения в проекции на ось Х и решать его относительно скорости V и пройденного по этой координате пути S .

1.2 Физическая и математическая модели неустановившегося движения судна

Основным уравнением задачи в этом случае является уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось координат X .

ma = F (1)

Здесь:

m – масса тела (судна);

а = dV / dt – ускорение тела;

F – сумма всех сил, действующих на судно, в проекции на ось X .

Равнодействующая сила F складывается из двух сил:

R – сопротивление движению судна;

Т – тяга движения (как правило, гребного винта).

Из физических соображений понятно, что сопротивление R зависит от скорости движения (чем больше скорость V , тем больше сопротивление R ) и направлена против скорости V , т.е. в отрицательном направлении оси X . Тяга, создаваемая гребным винтом, также зависит от скорости судна, но действует в противоположном направлении силе сопротивления R , т.е. направлена в положительном направлении оси X . Во время стоянки судна V =0 b R ( V )=0.

Тяга, создаваемая гребным винтом, также зависит от скорости движения судна, но действует в противоположном силе сопротивления R направлении, т.е. направлена противоположном направлении оси Х.

С учетом сказанного, уравнение (1) можно записать в виде:

(2)

Таким образом, получено обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно скорости движения судна V .

Для определения пройденного за время "разгона" пути S к этому уравнению (2) необходимо добавить уравнение dS / dt = V , являющееся определением понятия – "скорость". Математическая модель задачи записывается в виде системы из двух дифференциальных уравнений 1-го порядка, записанных в каноническом виде:

(3)

Здесь функции R ( V ) и T ( V ) являются заданными и находятся по испытаниям моделей судна и гребного винта. Как правило, эти функции задаются либо графически, либо таблично.

Для решения системы уравнений (3) необходимо задать начальные условия. Обычно они задаются в виде t =0 или V = Vn .


2. Методика и алгоритмы решения задачи

2.1 Формирование функций исходных данных

В курсовой работе исходными данными являются функции R ( V ) и T ( V ), которые представлены в графическом виде. Решением данной задачи является снятие контрольных точек с графиков ( R ( V ) – 16-20 точек и T ( V ) – 8-10 точек) включая первую и последнюю и заполнение таблиц исходных данных (расчёты производятся в системе СИ).

2.2 Аппроксимация исходных данных

По сформированным таблицам этих функций необходимо:

- выбрать класс аппроксимирующей функции (если выбран полином, то необходимо выбрать его степень исходя из вида кривой по характерным точкам, выбранным из контрольных);

- определить коэффициент аппроксимации;

- рассчитать и вывести на дисплей графики аппроксимирующих функций.

Модельная задача №1. Линейная аппроксимация исходных функций R ( V ) и T ( V ) на всём участке по первой и последней точкам.

Модельная задача №2. Кусочно-линейная аппроксимация исходных функций R ( V ) (3 участка) и функции T ( V ) (2 участка).

Модельная задача №3. Кусочо-нелинейная аппроксимация исходных функций R ( V ) (не менее 3 участков) и T ( V ) на всём участке. Подобрать оптимальный вариант аппроксимирующих функций с учётом неразрывности функции на границах участков.


2.3 Эталонное аналитическое решение системы дифференциальных уравнений

Для отладки программы решения общей (при произвольных R ( V ) и T ( V )) системы (3) целесообразно задать эти функции в виде полиномов 1-й степени.

(4)

Здесь коэффициенты аппроксимации

находятся по методу интерполяции по первой и последней точкам.

Подставляя соотношения (4) в систему (3) получим:

или
(5)

где F 0= T 0- R 0, F 1= T 1- R 1.

Это простейшее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

(6)

Решение этого уравнения:


Здесь начальные условия входят в пределы интегрирования. Вычисляя интегралы, получаем:

Потенцируя, получаем:

Это и есть точное решение уравнения (6). При t =0 имеем V = VH , то есть начальное условие выполнено автоматически. При разгоне коэффициент F 1<0 и при

получаем:

при F 1<0 и при
(7)

При отладке программы в общем случае получаемое численное решение с линейными аппроксимациями T ( V ) и R ( V ) сравнивается с точным для проверки правильности алгоритма решения. На этом этапе расчёта строится график зависимости V = V ( t ) и график численного решения уравнения (6). Он совпадают с заданной точностью.


2.4 Вычисление кинетической энергии

Для расчёта кинетической энергии затрачиваемой на разгон судна используется известное соотношение

Такой же расчёт необходимо произвести для задачи торможения.

Вычисление интеграла производится одним из численных методов на основании результатов, полученных в третьей модельной задаче.

Контрольные точки с графиков

V R(V) T(V)
км/ч м/с кг Н кг Н
1 0 0 0 0 1950 19110
2 4 1,1112 20 196 1940 19012
3 8 2,2224 100 980 1915 18767
4 12 3,3336 260 2548 1900 18620
5 16 4,4448 590 5782 1885 18473
6 20 5,556 1060 10388 1860 18228
7 24 6,6672 1340 13132 1820 17836
8 28 7,7784 1460 14308 1795 17591
9 30 8,334 1490 14602 1780 17444
10 32 8,8896 1500 14700 1730 16954
11 34 9,4452 1490 14602 1705 16709
12 36 10,0008 1475 14455 1690 16562
13 40 11,112 1390 13622 1610 15778
14 44 12,2232 1295 12691 1540 15092
15 48 13,3344 1195 11711 1460 14308
16 52 14,4456 1090 10682 1380 13524
17 56 15,5568 1010 9898 1285 12593
18 60 16,668 1005 9849 1185 11613
19 65 18,057 1060 10388 1060 10388
20 70 19,446 1190 11662 960 9408


3. Первая модельная задача

Нахождение корня шаговым методом:

V F(V)
37,5 400,5
37,75 275,77
38 151,04
38,25 26,31
38,5 -98,42


Уточнение корня методом Ньютона:

e= 0,001
Метод Ньютона
V F(V) F'(V) |F(V)<=e
38,25 26,31 -498,92
38,302734 0 -498,92 скорость!

Время разгона: метод Симпсона (парабол)

V F(V) V F(V)
0 0,758765 7 0,9284421
4 0,8472437 15 1,2471831
12 1,1049336 25 2,184722
20 1,5878926 35 8,7996116
30 3,5003862 45 -4,3394984
40 -17,12329
Sum1= 7,0404562 Sum2= 8,8204604
t _разгона = 50,29

Время торможения: метод Симпсона (парабол)

38,5 -0,754877 36 -0,8072993
33,5 -0,867546 31 -0,9375089
28 -1,037956 25,5 -1,1397167
23 -1,263599 20,5 -1,4176964
18 -1,614599 15,5 -1,8750178
13 -2,235598 10,5 -2,7678834
8 -3,632847 6 -4,8437959
5 -5,812555 4 -7,2656939
3 -9,687592 2 -14,531388
1 -29,06278 0,5 -58,125551
Sum1= -55,21507 Sum2= -35,586
t_торможения= 73,75825

Энергия разгона судна: