Смекни!
smekni.com

Исследование операций и теория систем 2 (стр. 2 из 3)

Ответ: если предприятие будет изготавливать только три вида проволоки 1,2,3 причем 3875/3 км, 2750/3 км, 250 км соответственно, то общая прибыль от реализации изготовляемой продукции будет максимальной и равной 3500(ед).


Задача 2 (№28)

Условие:

С помощью симплекс–таблиц найти решение задачи линейного программирования: определить экстремальное значение целевой функции Q=CTx при условии Ax ³ £B,

где CT = [ c1 c2 . . . c6 ]T , ВT = [ b1 b2 . . . b6 ]T ,

XT = [ x1 x2 . . . x6]T , А= [aij] (i=1,6; j=1,3).

№ вар. с1 с2 с3 с4 с5 с6 b1 b2 b3 Знаки ограничений a11 a12 a13 a14
1 2 3
28 -6 0 1 -1 -1 0 8 2 3 = = = 4 1 1 2
№ вар. a15 a16 a21 a22 a23 a24 a25 a26 a31 a32 a33 a34 a35 a36 Тип экстрем.
1. 34 1 0 2 -1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 max

Решение:

Получим систему:

4 x1 + x2 + x3+2x4 + x5 =8;

2x1 - x2 +x4=2;

x1 + x2+x5=3

L= -6x1+ x3 -x4 -x5 → max

Пусть x2, x4 – свободные переменные, а x1, x3, x5 - базисные переменные. Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы:

x5 =2-(1,5x2 -0,5 x4);

x3 =6-(1,5x2 +0,5 x4);

x1=1-(-0,5x2+0,5x4)

L=-2-(3x2- x4) → max

Составим симплекс-таблицу:

Выберем разрешающим столбцом x4,т.к. только перед этой переменной в целевой функции отрицательное число, выберем в качестве разрешающего элемента тот, для которого отношение к нему свободного члена будет минимально (это x1). Меняем x4 и x1

b
x2 x4
L -2 2 3 -1 -1 2
x1 1 2 -0,5 -1 0,5 2 1/0,5=2
6 -1 1,5 0,5 0,5 -1 6/0,5=12
2 1 1,5 -0,5 -0,5 1
b
x2 x1
L 0 2 2
x4 2 -1 2
5 2 -1
3 1 1

Получили оптимальное решение, т.к. все коэффициенты положительны.

Итак, x1= x2=0, x3 =5, x4=2, x5 =3, L=0.

Ответ: x1= x2=0, x3 =5, x4=2, x5 =3, L=0.


Задача 3 (№8)

Условие:

Решение транспортной задачи:

1. Записать условия задачи в матричной форме.

2. Определить опорный план задачи.

3. Определить оптимальный план задачи.

4. Проверить решение задачи методом потенциалов.

№вар. а1 а2 а3 b1 b2 b3 b4 b5 с11 с12 с13
8 200 200 600 200 300 200 100 200 25 21 20
с14 с15 с21 с22 с23 с24 с25 с31 с32 с33 с34 с35
50 18 15 30 32 25 40 23 40 10 12 21

Решение:

Составим таблицу транспортной задачи. Заполним таблицу методом северо-западного угла:

B1 B2 B3 B4 B5 ai
A1 25 200 21 20 50 18 200
A2 15 30 200 32 25 40 200
A3 23 40 100 10 200 12 100 21 200 600
bj 200 300 200 100 200 1000

Количество заполненных ячеек r=m+n-1=6.

Проверим сумму по столбцам, сумму по строкам и количество базисных (заполненных) клеток:

r =6, å ai=å bj=1000, всё выполняется, значит, найденный план является опорным.

L=25*200+30*200+40*100+10*200+12*100+21*200=22400

Постараемся улучшить план перевозок.

1) Рассмотрим цикл (1;1)-(1;2)-(2;2)-(2;1)

Подсчитаем цену цикла: j=15-30+21-25=-19<0

B1 B2 B3 B4 B5 ai
A1 25 21 200 20 50 18 200
A2 15 200 30 32 25 40 200
A3 23 40 100 10 200 12 100 21 200 600
bj 200 300 200 100 200 1000

L=21*200+15*200+40*100+10*200+12*100+21*200=18600

2) Рассмотрим цикл (2;1)-(2;2)-(3;2)-(3;1)

j=-15+30+23-40=-2<0

B1 B2 B3 B4 B5 ai
A1 25 21 200 20 50 18 200
A2 15 100 30 100 32 25 40 200
A3 23 100 40 10 200 12 100 21 200 600
bj 200 300 200 100 200 1000

L=21*200+15*100+30*100+23*100+10*200+12*100+21*200=18400

Проверим методом потенциалов:

Примем α1=0, тогда βj = cij – αi (для заполненных клеток).

Если решение верное, то во всех пустых клетках таблицы Δij = cij – (αi+ βj) ≥ 0

Очевидно, что Δij =0 для заполненных клеток.

В результате получим следующую таблицу:

B1=6 B2=21 B3=-7 B4=-5 B5=4 ai
A1=0 25-6>0 21-21=0 200 20+7>0 50+5>0 18-4>0 200
A2=9 15-9-6=0 100 30-21-9=0 100 32-9+7>0 25+5-9>0 40-4-9>0 200
A3=17 23-17-6=0 100 40-21-17>0 10+7-17=0 200 12+5-17=0 100 21-4-17=0 200 600
bj 200 300 200 100 200 1000

Таким образом, решение верное, т.к. Δij > 0 для всех пустых клеток и Δij =0 для всех заполненных.

Тогда сумма всех перевозок:

L=18400

Ответ:

B1 B2 B3 B4 B5 ai
A1 25 21 200 20 50 18 200
A2 15 100 30 100 32 25 40 200
A3 23 100 40 10 200 12 100 21 200 600
bj 200 300 200 100 200 1000

Задача 4 (№53)

Условие:

Определить экстремум целевой функции вида

F = c11x12+c22x22+c12x1x2+b1x1+b2x2

при условиях:

a11x1+a12x2<=>p1

a21x1+a22x2<=>p2.

1. Найти стационарную точку целевой функции и исследовать ее (функцию) на выпуклость (вогнутость) в окрестностях стационарной точки.

2. Составить функцию Лагранжа.

3. Получить систему неравенств в соответствии с теоремой Куна-Таккера.

4. Используя метод искусственных переменных составить симплекс-таблицу и найти решение полученной задачи линейного программирования.

5. Дать ответ с учетом условий дополняющей нежесткости.

b1 b2 c11 c12 c22 extr a11 a12 a21 a22 p1 p2 Знаки огр. 1 2
53 6 1,5 -2 -4 –1 max 2,5 -1 3 2,5 7 13 ³ ³

Решение:

Целевая функция:

F= -2x12-x22-4x1x2+6x1+1,5x2→max

Ограничения g1(x) и g2(x): 2,5x1-x2³7 2,5x1-x2–7³0

3x1+2,5x2³13 3x1+2,5x2-13³0

1) определим относительный максимум функции, для этого определим стационарную точку (х10, х20):

2) Исследуем стационарную точку на максимум, для чего определяем выпуклость или вогнутость функции

F11 (х10, х20) = -4 < 0

F12 (х10, х20)=-4

F21 (х10, х20)=-4

F22 (х10, х20)=-2

F11 F12 -4 -4

F21 F22 -4 -2

Т.к. условие выполняется, то целевая функция является строго выпуклой в окрестности стационарной точки

3) Составляем функцию Лагранжа:

L(x,u)=F(x)+u1g1(x)+u2g2(x)=-2x12-x22-4x1x2+6x1+1,5x2+u1 (2,5x1-x2–7)+ u2 (3x1+2,5x2-13).

Получим уравнения седловой точки, применяя теорему Куна-Таккера:

i=1;2

Объединим неравенства в систему А, а равенства в систему В:

Система А:

Система В:

Перепишем систему А:

6-4x1-4x2+2,5u1+3u2 <0

1,5-4x1-2x2-u1+2,5u2 <0

2,5x1-x2–7³0

3x1+2,5x2–13³0

4)Введем новые переменные

V={v1,v2}≥0; W={w1,w2}≥0

в систему А для того, чтобы неравенства превратить в равенства:

6-4x1-4x2+2,5u1+3u2 + v1=0

1,5-4x1-2x2-u1+2,5u2 + v2=0

2,5x1-x2–7- w1=0

3x1+2,5x2–13- w2=0

Тогда

- v1=6-4x1-4x2+2,5u1+3u2

- v2=1,5-4x1-2x2-u1+2,5u2

w1=2,5x1-x2–7

w2=3x1+2,5x2–13

Следовательно, система В примет вид:

- это условия дополняющей нежесткости.

5) Решим систему А с помощью метода искусственных переменных.

Введем переменные Y={y1; y2} в 1 и 2 уравнения системы

6-4x1-4x2+2,5u1+3u2 + v1 -y1=0

1,5-4x1-2x2-u1+2,5u2 + v2 -y2=0

2,5x1-x2–7- w1=0

3x1+2,5x2–13- w2=0

и создадим псевдоцелевую функцию Y=My1+My2→min

Y’=-Y= -My1-My2→max.

В качестве свободных выберем х1, х2, v1, v2, u1, u2;

а в качестве базисных y1, y2, w1, w2.

Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы:

y1=6-(4x1+4x2-2,5u1-3u2 - v1)

y2=1,5-(4x1+2x2+u1-2,5u2 -v2)

w1=-7-(-2,5x1+x2)