Неплохой пример использования спектрального разложения дает рассмотренная выше мат-рица коэффициентов линейного дифференциального уравнения. Ввод выражения
lambda = eig(A)
дает следующий вектор-столбец собственных значений (два из них являются комплексно-сопряженными)
lambda =
-3.0710
-2.4645 + 17.6008i
-2.4645 - 17.6008i
Действительные части всех собственных значения являются отрицательными, что обеспечи-вает устойчивость процессов в системе. Ненулевые мнимые части комплексно-сопряженных собственных значений обуславливают колебательный характер переходных процессов.
При двух выходных аргументах, функция eig вычисляет также собственные векторы и выда-ет собственные значения в виде диагональной матрицы
.
[V,D] = eig(A)
V =
-0.8326 0.2003 - 0.1394i 0.2003 + 0.1394i
-0.3553 -0.2110 - 0.6447i -0.2110 + 0.6447i
-0.4248 -0.6930 -0.6930
D =
-3.0710 0 0
0 -2.4645+17.6008i 0
0 0 -2.4645-17.6008i
Первый собственный вектор (первый столбец матрицы V) является действительным, а два других являются комплексно-сопряженными. Все три вектора являются нормализованными по длине, т.е. их Евклидова норма norm(v,2), равна единице.
Матрица V*D*inv(V), которая в более сжатой форме может быть записана как V*D/V, равна, в пределах погрешностей округления, матрице А. Аналогично, inv(V)*A*V, или V\A*V, рав-на, в пределах погрешностей округления, матрице D.
Некоторые матрицы не имеют спектрального разложения. Такие матрицы называются дефек-тными или не диагонализируемыми. Например, пусть матрица А имеет вид
A =
6 12 19
-9 -20 -33
4 9 15
Для этой матрицы ввод [V, D] = eig(A) дает
V =
-0.4741 -0.4082 -0.4082
0.8127 0.8165 0.8165
-0.3386 -0.4082 -0.4082
D =
-1.0000 0 0
0 1.0000 0
0 0 1.0000
Здесь имеются два положительных единичных кратных собственных значений. Второй и третий столбцы матрицы V являются одинаковыми и поэтому полного набора линейно-неза-висимых собственных векторов не существует (и поэтому не существует обратная матрица V-1).
Сингулярным значением и соответствующими сингулярными векторами прямоугольной ма-трицы A называются скаляр σ и пара векторов u и v такие, что удовлетворяются соотноше-ния
Av = σu
ATu = σv
Имея диагональную матрицу сингулярных чисел Σ и две ортогональные матрицы U и V, сформированные из соответствующих собственных векторов, можно записать
AV = U Σ
ATU = V Σ
Поскольку U и V являются ортогональными матрицами, это можно записать в виде сингуляр-ного разложения
A = U ΣVT
Полное сингулярное разложение матрицы А размера mхn включает mхm матрицу U, mхn матрицу Σ, и nхn матрицу V. Другими словами, обе матрицы U и V являются квадратными , а матрица Σ имеет тот же размер, что и A. Если A имеет намного больше строк чем столб-цов, результирующая матрица U может быть достаточно большой, но большинство ее столб-цов умножаются на нули в Σ . В таких ситуациях может быть использована так называемая экономичная декомпозиция, которая сберегает как время так и память, за счет вывода матри-цы U размера mхn, матрицы Σ размера nхn и той же матрицы V.
Спектральное разложение является подходящим инструментом анализа матрицы, когда пос-ледняя осуществляет преобразование векторного пространства в себя, как это было в рас-смотренном выше примере дифференциальных уравнений. С другой стороны, сингулярное разложение матриц удобно при отображении одного векторного пространства в другое, возможно с иной размерностью. Большинство систем совместных линейных уравнений отно-сятся ко второй категории. Если матрица А является квадратной, симметричной и поло-жительно-определенной, то ее спектральное и сингулярное разложения совпадают. Но при отклонении A от симметричной и положительно-определенной матрицы, разница между двумя разложениями возрастает. В частности, сингулярное разложение действительной мат-рицы всегда действительно, но спектральное разложение действительной несимметричной матрицы может быть и комплексным.
9 4
6 8
2 7
полное сингулярное разложение задается в форме
[U,S,V] = svd(A)
и приводит к следующим результатам
U =
-0.6105 0.7174 0.3355
-0.6646 -0.2336 -0.7098
-0.4308 -0.6563 0.6194
S =
14.9359 0
0 5.1883
0 0
V =
-0.6925 0.7214
-0.7214 -0.6925
Вы можете убедиться, что матрица U*S*V' равна А с точностью до ошибок округления. Для этого примера экономичная декомпозиция дает незначительный эффект.
[U,S,V] = svd(A,0)
U =
-0.6105 0.7174
-0.6646 -0.2336
-0.4308 -0.6563
S =
14.9359 0
0 5.1883
V =
-0.6925 0.7214
-0.7214 -0.6925
Как и в первом случае, матрица U*S*V' равна A с точностью до ошибок округления.
В этом разделе мы ознакомимся с основными функциями MATLAB-а, которые дают возмож-ность осуществлять математические действия с полиномами и производить интерполяцию одно-, двух-, и многомерных данных.
Обзор полиномиальных функций | |
Функция | Описание |
| conv | Умножение полиномов. |
| deconv | Деление полиномов. |
| poly | Вычисление характеристического полинома матрицы или определение полинома с заданными корнями. |
| polyder | Вычисление производных от полиномов. |
| polyfit | Аппроксимация данных полиномом. |
| polyval | Вычисление значений полиномов в заданных точках. |
| polyvalm | Вычисление значений матричного полинома. |
| residue | Разложение на простые дроби (вычисление вычетов). |
| roots | Вычисление корней полинома. |
MATLAB представляет полиномы как векторы-строки, содержащие коэффициенты полино-мов по убывающим степеням. Например, рассмотрим следующее уравнение
p(x) = x3 – 2x – 5
Это известный пример Валлиса (Wallis), использованный при первом представлении метода Ньютона во Французкой Академии. Мы будем использовать его в дальнейшем при рассмот-рении примеров использования различных функций. Для ввода данного полинома в MATLAB, следует записать
p = [1 0 -2 -5].
Корни полинома вычисляются при помощи функци roots :
r = roots(p)
r =
2.0946
-1.0473 + 1.1359i
-1.0473 - 1.1359i
MATLAB запоминает вычисленные корни как вектор-столбец. Функция poly выполняет об-ратную роль, то есть по заданным корням полинома вычисляет значения его коэффициентов (обратите внимание на значение второго коэффициента, который в идеале равен нулю).
p2 = poly(r)
p2 =
1 8.8818e-16 -2 -5
Функции poly и roots являются взаимно-обратными функциями, с точностью до упорядоче- ния коэффициентов, масштабирования и ошибок округления.
Характеристические полиномы
Функция poly вычисляет также коэффициенты характеристического полинома матрицы:
A = [1.2 3 -0.9; 5 1.75 6; 9 0 1];
poly(A)
ans =
1.0000 -3.9500 -1.8500 -163.2750
Корни данного полинома, вычисленные при помощи функции roots, являются собственными значениями (характеристическими числами) матрицы А. (При практических расчетах, для вычисления собственных значений матриц целесообразно вычислять их посредством функ-ции eig.)
Функция polyval вычисляет значение полинома в заданных точках. Для вычисления p в точ-ке s = 5, следует записать
polyval(p,5)
ans =
110
Можно также вычислить значение матричного полинома. Так, вместо полинома Валлиса мо-жно записать:
p(X) = X3 - 2X – 5I
где X является квадратной матрицей, а I - единичной матрицей. Например, сформируем сле-дующую квадратную матрицу X
X = [2 4 5; -1 0 3; 7 1 5];
и вычислим значение заданного выше полинома p(X) на данной матрице.
Y = polyvalm(p, X)
377 179 439
111 81 136
490 253 639
Для умножения и деления полиномов предназначены соответственно функции conv и deconv. Рассмотрим полиномы a(s) = s2 + 2s + 3 и b(s) = 4s2 + 5s + 6. Для вычисления их произведения следует ввести
a = [1 2 3]; b = [4 5 6];
c = conv(a,b)
MATLAB возвращает
c =
4 13 28 27 18
Для получения из с полинома b воспользуемся функцией deconv:
[q, r] = deconv(c, a)