Метод расчета скейлинговых констант Фейгенбаума для одномерных дискретных отображений по точкам сверхустойчивых циклов (стр. 1 из 2)

Антон Никифоров

Напомню для начала некоторые факты из теории универсальности Митчелла Фейгенбаума. Будем называть непрерывное отображение отрезка в себя унимодальным, если внутри отрезка имеется точка экстремума

и по обе стороны от неё отображение является строго монотонным (с одной из сторон возрастающим, с другой убывающим). Условимся далее рассматривать только унимодальные отображения вида

(1)

Если последовательность {

} при данном r состоит из n точек, такую последовательность будем называть n-циклом, что =f( ), =f( ), …, =f( ) или . Заметим, что производная порядка n функции (n раз вычисленной функции f(x)) в точке x по правилу дифференцирования сложной функции равна .

Точки цикла, удовлетворяющие соотношению

(2)

называются неподвижными.

Величина

(так называемый мультипликатор) определяет устойчивость n-цикла и её принято называть устойчивостью (stability, [2], p.121). n-цикл называется устойчивым, если <1.

n-цикл, содержащий

в качестве одной из своих точек, называются сверхустойчивым. Для такого цикла =0.

Как было продемонстрировано в 1978 году М.Фейгенбаумом [4], значения параметра

, при которых число устойчивых периодических точек удваивается и становится равным , удовлетворяют масштабному соотношению, или как говорят имеют скейлинг:

(3)

Данное соотношение встречается также и в следующей записи:

,n>>1 ([1], стр. 49),

(3.1)

Рис.1

Или в таком виде:

Расстояния

от точки , где - точка экстремума рассматриваемого отображения (на рис 1. x=1/2), до ближайшей к ней точки на - цикле подчиняются следующему соотношению:

, n>>1

(4)

Константы Фейгенбаума имеют значения

, и являются ни много ни мало мировыми транцедентными числами, такими как или e.

Сказку о том, как Фейгенбаум сидел в тени деревьев и вычислял их на своём калькуляторе HP-65 с золотистыми кнопочками вы, наверное, слышали. Это был первый программируемый калькулятор и стоил ни много ни мало аж 400 (четыреста!) долларов. Наивно полагать, что своё удивительное открытие Фейгенбаум сделал, пользуясь исключительно калькулятором: все-таки в то время он работал в Лос-Аламосе, а у военных всегда были и будут самые мощные компьютеры в мире, однако открытие действительно было чудесным - какие бы унимодальные отображения мы не рассматривали, скейлинг для них (т.е. "волшебные" числа

и ) будет тем же самым.

Алгоритм

Интересно, что точки

также можно использовать для расчета , этим факт мы и будем использовать в дальнейшем. Обратим внимание, что в точках мультипликатор всегда равен нулю, что автоматически означает устойчивость этих циклов:

(a)	Например, для цикла периода два:
, где
, таким образом
	(5.1)