Содержание и значение математической символики (стр. 2 из 15)

Мы пользуемся ею для обозначения юбилейных дат, для нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т. д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так: I=1; V=5; X=10; L=50; С=100; D=500; M=1000.

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. Точно так же знак для 1000 мог составиться из удвоения знака для 500 (или наоборот).

Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей. Например, VI=6, т.е. 5+1, IV=4, т.е. 5-1, XL=40, т е. 50-10, LX=60, т.е. 50+10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX=70; LXXX=80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).

Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

Примеры: XXVIII=28; ХХХIХ=39; CCCXCVII=397; MDCCCXVIII=1818.

Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до 13 века, а в других странах Западной Европы - до 16 века.

Древние египтяне использовали десятичную непозиционную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Чтобы записанные таким образом числа было легко узнавать, вертикальные штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона. Так, например, с помощью коллективных символов и повторений уже введенных символов число 6789 в иероглифических обозначениях можно было бы записать как

Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне, но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале – папирусе. Два таких документа – папирус Ринда, или египетского писца Ахмеса (ок. 1650 до н.э.) и московский папирус, или папирус Голенищева (ок. 1850 до н.э.) – служат для нас основными источниками сведений о древнеегипетских арифметике и геометрии. В этих папирусах более древнее иероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму, и это изменение сопровождалось использованием нового принципа обозначения чисел. Группа одинаковых символов заменялись более простой по начертанию пометой или знаком, например, девять записывалось как

вместо , а семьсот как вместо . В этой записи число 6789 имело вид , причем знаки более высокого порядка располагались справа, а не слева.

Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления, так как дало возможность существенно сократить записи.

Основные недостатки непозиционных систем нумерации - трудности с изображением произвольно больших чисел и, главное, более сложный, чем в позиционных системах, процесс вычислений. (Последнее, правда, облегчалось употреблением счетных досок – абаков, так что изображение чисел было необходимо лишь для конечного результата).

Крупным шагом вперед, оказавшим колоссальное влияние на все развитие математики было создание позиционных систем счисления. Первой такой системой стала вавилонская шестидесятеричная система счисления, в которой появился знак

, указывающий на отсутствие разряда, выполняющего роль нашего нуля. Концевой нуль, который позволял различать, например, обозначения для 1 и 60, у вавилонян отсутствовал. Удобство вычислений в шестидесятеричной системе сделало ее популярной у греческих астрономов. К. Птолемей (II в. н.э.) при вычислениях в шестидесятеричной системе пользуется знаком «0» для обозначения отсутствующих разрядов как в середине, так и в конце числа (0, омикрон – первая буква греческого слова ovden-ничто). О вавилонской шестидесятеричной системе нам напоминает деление часа на 60 минут и минуты на 60 секунд, а также деление угла равного четырем прямым, на 360 градусов. Неудобство шестидесятеричной системы счисления в сравнении с десятичной – необходимость большого количества знаков для обозначения индивидуальных цифр (от 0 до 59), более громоздкая таблица умножения.

Создание десятичной позиционной системы счисления, одного из выдающихся достижений средневековой науки, - заслуга индийских математиков. Позиционные десятичные записи чисел встречаются в Индии с VI в. Так, в дарственной записи 595 года встречается запись числа 346 цифрами брахми º

(º-3, -4, -6). Первую достоверную запись нуля в виде кружочка мы находим в изображении числа 270 в настенной записи из Гвалиора, относящейся к 876г. Иногда ноль обозначался точкой. Неясно, был ли нуль собственным изобретением индийцев; возможно, они познакомились с ним по сочинениям александрийских астрономов.

Вот какова эволюция написания индийских цифр.

§2. Символика Виета и Декарта и развитие алгебры.

2.1 Развитие алгебры до Ф. Виета.

2.1.1 Алгебра греков.

Считается, что эллины заимствовали первые сведения по геометрии у египтян, по алгебре - у вавилонян.

В древнейших египетских источниках папирусе Райнда и Московском папирусе - находим задачи на «аха» (термин «аха» означает «куча», «груда»). Имеется в виду некоторое количество, неизвестная величина, подлежащая определению) соответствующие современным линейным уравнениям, а также квадратным вида ах² = b. В вавилонских клинописных текстах имеется большое число задач, решаемых с помощью уравнений и систем первой и второй степеней, которые записаны без символов, но в специфической терминологии. В этих текстах решаются задачи, приводящие к трехчленным квадратным уравнениям вида ах² - bх = с или х² - рх = q. В задачах на «аха» можно обнаружить зачатки алгебры как науки о решении уравнений.

Но если вавилоняне за два тысячелетия до нашей эры умели числовым путем решать задачи, связанные с уравнениями первой и второй степеней, то развитие алгебры в трудах Евклида (365 - ок. 300 гг. до н. э.), Архимеда (287-212 гг. до н. э.) и Аполлония (ок. 260-170 гг. до н. э.) носило совершенно иной характер: греки оперировали отрезками, площадями, объемами, а не числами. Их алгебра строилась на основе геометрии и выросла из проблем геометрии. В XIX в. совокупность приемов древних получила название геометрической алгебры.

В качестве примера геометрической алгебры греков рассмотрим решение уравнения х² + ax = b².

Античные математики решали эту задачу построением и строили искомый отрезок так, как показано на рисунке.

На заданном отрезке АВ (равном a) строили прямоугольник AMсо сторонами (а + х) и x, равновеликий данному квадрату (b²), таким образом, чтобы избыточная над прямоугольником AL (равная ах) площадь ВМ была квадратом, по площади равным х². Сторона этого квадрата и давала искомую величину х. Такое построение называли гиперболическим приложением площади.