Счётные множества (стр. 3 из 3)
Так как каждое Sm счётно, то счётно и множество S, что и доказывает теорему.
В заключении докажем следующую, весьма общую теорему:
- 6 -
Теорема 11. Если элементы множества А определяются n значками, каждый из которых независимо от других пробегает счётное множество значений
А={a
, 
, . . . , 
} (xk=x 
, x 
, . . . ; k=1, 2, 3, . . . ,n),то множество А счётно.
Доказательство: Докажем теорему методом математической индукции.
Теорема очевидна, если n=1, то есть имеется только один значок. Допустим, что теорема верна для n=m, и покажем, что она справедлива для n=m+1.
Итак пусть А={a
, , . . . , 
, 
}.Обозначим через Ai множество тех элементов А, для которых
, где 
одно из возможных значений (m+1)-го значка, т. е. положим Ai =={a , , . . . , , 
}.В силу сделанного допущения множество Ai счётно, а так как А=
, то счётно и множество А.Вот несколько предложений, вытекающих из этой теоремы:
Множество точек (x, y) плоскости, у которых обе координаты рациональны, счётно.
Но более интересным является следующий факт:
Множество многочленов
с целыми коэффициентами счётно.В самом деле, это непосредственно следует из теоремы 11, если только рассматривать многочлены фиксированной степени n, и для завершения доказательства следует применить теорему 8.
Список литературы
1.Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. – Ленинград, 1948.
Никольский С.М. Курс математического анализа. – Москва, 1983.
Кудрявцев Л.Д. Математический анализ (том 1). – Москва, 1973.
Архангельский А. В. Канторовская теория множеств. – Москва, 1988.
Куратовский К. и Мастовский А. Теория множеств. – Москва, 1970.
Медведев Ф.А. Развитие теории множеств в 19 веке. – Москва, 1965.