Замечательные кривые в математике (стр. 3 из 3)

Лемниската Бернулли

Обратимся к кривой, описываемой точкой М на плоскости так, что остается неизменным произведение р расстояний этой точки до двух определенных точек F₁ и F₂ той же плоскости. Такая кривая называется лемнискатой (лемниската по-гречески значит «ленточная»). Если длина отрезка F₁F₂есть с, то расстоянияот середины О отрезка F₁F₂до F1 и F2 равны с/2 и произведение этих расстояний равно – с²/4. Потребуем сначала, чтобы величина р неизменного произведения равнялась как раз с²/4; тогда

Рис. 21

точка О будет лежать на лемнискате, а сама лемниската будет иметь вид «лежащей восьмерки» (рис. 21). Если продолжить отрезок F₁F₂ в обе стороны до пересечения с лемнискатой, то получим две точки А₁ и А₂. Выразим расстояние между А₁А₂= х через известное расстояние с:

(х/2+с/2)(х/2-с/2)=х²/4-с²/4.

Если величину неизменного произведения р взять не равной с²/4, то лемниската изменит свой вид. И при р меньше с²/4, лемниската состоит из двух овалов, каждый из которых содержит точки F₁ и F₂, соответственно (рис.22).

Рис. 22

Т.о. задавая различные условия для р и с²/4 будем получать лемнискаты различного вида (рис. 23).

Рис. 23

Возьмем теперь на плоскости любое количеств точек. F₁,F₂, ..., F_n и заставим точку М двигаться так, чтобы для нее оставалось неизменным произведение расстояний до каждой из взятых точек. Получим Кривую, форма которой будет зависеть от того, как расположены точки F₁,F₂, ..., F_n друг относительно друга и какова величина неизменного произведения. Кривая эта называется лемнискатой с n фокусами.

Выше мы рассматривали лемнискаты с двумя фокусами. Беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний. Будем вести острие карандаша из некоторой точки А, не отрывая от бумаги, так, чтобы оно в конце вернулось в исходную точку А. Тогда оно опишет некоторую кривую; мы потребуем только, чтобы эта кривая нигде не пересекала

Рис. 24

самое себя. Очевидно, что таким путем могут получиться кривые, имеющие, например, очертания человеческой головы или птицы (рис. 24). Оказывается, что, имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число п и расположение фокусов

F₁,F₂, ..., F_n

и назначить такую величину для неизменного произведения расстояний

МF₁ МF₂… МF_n= p

что соответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой. Иными словами, возможные отклонения точки М, описывающей лемнискату, от нарисованной кривой - не будут превосходить ширину карандашного штриха (карандаш можно заранее отточить как угодно хорошо так, что штрих будет очень узким). Этот замечательный факт, говорящий о необычайном разнообразии н богатстве форм лемнискат с многими фокусами, доказывается совершенно строго, нo очень сложно, при помощи высшей математики.

Список литературы

1. Маркушевич А.И., Замечательные кривые, М., 1978 г., 48 стр. с илл.