Листок пятый
Рассказали страшное,
Дали точный адрес.
Б. Пастернак. Звезды летом.
Ну, а теперь можно крикнуть «Эврика!». А если n = –2 ? В этом случае:
k–2 = 1/k2 = 1/(1/0)2 = 02!
Это число получено от умножения нуля на нуль. Следовательно, оно на разряд меньше нуля – смотри правило умножения на нуль в «Листке втором». В самом нуле – бесконечно много k-чисел, имеющих отрицательную степень. В тишине нуля скрыто нескончаемое движение Вселенных...
Вглядимся попристальнее в нуль. Сначала мы увидим:
- –1 - 0 - +1 - или - –k0 - k–1 - +k0 -
Глубже:
- –0 - 02 - +0 - или - –k–1 - k–2 - +k–1 -
И наконец, поняв идею сложного строения нуля:
- –0n–1 - 0n - +0n–1 - или - –k–(n–1) – k–n - +k–(n–1) -
Таким образом, нуль безгранично глубок, а граница между плюсом и минусом более непроницаема, чем граница между единицей и бесконечностью, поскольку во втором случае между единицей и бесконечностью одна точка связи первого рода – k, а в первом – неисчислимое множество точек связи как угодно большого рода.
Теперь очень важное замечание. Обычно принимают, что 1 + 0 = 1. В этом есть определенный практический смысл. Если к k-числу высшего разряда прибавить число низшего разряда, то оно «не изменится». В самом деле, что значит Вселенная плюс атом? Без большого греха результат такого сложения можно принять равным Вселенной. Но ведь это не так...
Сумма двух k-чисел, одно из которых принадлежит к низшему разряду, выражает структуру k-числа. Эта сумма и равна одному из слагаемых, и в то же время отлична от него! Это несколько похоже на тонкую структуру линий спектра. Число, этот математический атом, не является «первокирпичиком», оно имеет структуру! Оно содержит в себе противоречие – тождественно и нетождественно самому себе – и, следовательно, способно к какой-то форме движения и развития.
Листок шестой
В самом деле, когда же было иначе, когда это порицалось,
когда запрещалось, когда нельзя было того, что можно?
М.Т. Цицерон. «В защиту Марка Целия Руфа»
Оказывается, k-числа не могут пожаловаться на отсутствие внимания к себе. На одну известную мне работу в этой области – уже цитировавшегося Эйлера – есть по крайней мере две критические заметки. Представляю их в хронологической последовательности с сохранением грамматики:
Первая. Это сноска В. Висковатова в разбиравшейся книге «Оснований алгебры...» под номером 31. В тексте Эйлер выводит формулу ряда:
1/(1 – a) = 1 + a + a2 + a3 + ... + an + an+1/(1 – a)
и пишет: «Положим, во-первых, а = 1; наш ряд сделается:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + и так далее бесконечно;
а дробь, которой он должен быть равен, сделается 1/0. Но мы уже заметили выше, что 1/0 есть число бесконечно великое». На что В. Висковатов – переводчик и комментатор – замечает: «Возьмем общее выражение
1/(1 – a) = 1 + a + a2 + a3 + ... + an + an+1/(1 – a).
Когдаположима = 1, товыйдет 1/0 = 1 + 1 + 1 + ... + 1/0 или 1/0 + n + 1 = 1/0, и когда 1/0 почитать за количество, то выйдет n + 1 = 0, что совсем нелепо...
Когда в выражении 1/0 = n + 1 + 1/0 оба количества умножить на нуль, то выйдет
1 = (n + 1)·0 + 1 или 1 = 1, что весьма справедливо; и так то же самое выражение
1/0 = n + 1 + 1/0 вести может и к нелепому и к истинному заключению; а сие само показывает, что выражение сие само есть нелепое».
Весьма обстоятельно, но... неверно! Ошибка Висковатова заключается в том, что из-за отсутствия четкого понятия k-числа и его разрядов он не понял сущности суммы
n + 1 + 1/0.
В данном случае в правой части стоит сумма k + n + 1, где n + 1 = (n + 1)·k0, т.е. сумма k и k0, каковая может быть записана просто как k (по аналогии с 1 + 0 = 1). Умножая же на нуль обе части, мы переводим их в разряд k-чисел низшего порядка. А здесь аналогичное равенство привычно, а потому и очевидно: 1 + 0 = 1.
(Автор вступился за честь Эйлера. Это невеликий подвиг! Вот если кто-то вступится за Висковатова против Эйлера и автора – это будет мужественным поступком. Конечно, если причина тому не простое упрямство. – Ю.Л.)
Вторая. В «Математических рукописях» Карл Маркс пишет: «...так как 1/0 = 1/(1 – 1), а 1/(1 – 1) = 2·1/2·(1 – 1) = 2/(2 – 2), то опять-таки 2/0 = 1/0. С тем же успехом, как с помощью ряда из единиц вроде
1/0 = 1/(1 – 1) = 1 + 1 + 1 + ...
можно представить ∞ посредством бесконечного ряда чисел, растущих в любом заданном отношении. Хотя при этом определенная часть одного бесконечного ряда может быть равна 1/2, 1/3 и т.д. определенной части другого бесконечного ряда, но ни первая, ни вторая определенная часть не находится в какой-нибудь пропорции ко всему бесконечному ряду, и в этом случае можно сказать только, что ряды по-разному шагают в бесконечность» (Курсив К. Маркса.)
Может быть, кто-то сочтет мое утверждение кощунственным, но я все-таки рискну утверждать: в данном случае Маркс был не прав! Хотя и убедительно продемонстрировал недостаточную доказательность эйлеровского утверждения о том, что 2/0 > 1/0. Доказать же это более строго можно следующим образом:
1/0 = 1/(1 – 1) = 2·1/(2·(1 – 1)) = 2/(2·0) = 1/0.
Ошибка Маркса в том, что 2·0 ≠ 0, так как 2·0 = 2·k–1, что совсем не то же самое, что k–1.
Любопытно отметить, что Маркс обращался к понятию нуля и в других работах. Например, в работе «О дифференциале» он совершенно четко разделил «нуль-число» и «нуль-предел» как совершенно различные самостоятельные понятия.