Транспортная задача линейного программирования (стр. 6 из 10)

Теперь, очевидно, мы можем, заключить, что в целом при пересчете но циклу, соответствующему свободному неизвестному

общий объем затрат на перевозки изменится на произведение алгебраической суммы тарифов на , т. е. на величину . Следовательно, если алгебраическая сумма тарифов для некоторого свободного неизвестного отрицательна , то пересчет по циклу, соответствующему этому неизвестному, приводит к уменьшению общей суммы затрат на реализацию плана перевозок. Если же алгебраическая сумма тарифов положительна , то пересчет по соответствующему циклу приведет к увеличению общей суммы затрат. И, наконец, если алгебраическая сумма тарифов равна нулю , то пересчет по соответствующему циклу не изменит общую сумму затрат (два различных базисных плана требуют одинаковых затрат на их реализацию).

Так, например, для цикла

в рассмотренной задаче алгебраическая сумма тарифов

.

Значит, пересчет по этому циклу снижает расходы. И действительно, осуществив такой пересчет, мы получаем план, по которому объем перевозок в тонно-километрах составляет

тогда как по исходному плану он составил

. Имеем снижение объема перевозок на 1200 тонно-километров, что и следовало ожидать, так как алгебраическая сумма тарифов в данном случае равна –15, а пересчет по циклу осуществляется с помощью числа (изменение затрат равно ).

Вычисление алгебраической суммы тарифов для каждого из свободных неизвестных можно производить без построения соответствующего цикла, пользуясь, так называемыми, потенциалами. Припишем каждой базе

, некоторое число и каждому потребителю некоторое число :

,

так что

,

где

– тарифы, соответствующие клеткам, заполненным базисными неизвестными. Эти числа и называются потенциалами соответствующих баз и потребителей.

Зная потенциалы, легко вычислить алгебраическую сумму тарифов. Действительно, если в алгебраической сумме тарифов по циклу, соответствующему свободному неизвестному

, заменить тарифы базисных клеток их выражениями через потенциалы по формулам (4.1), то, в силу чередования знаков при вершинах цикла, все потенциалы, кроме и сократятся, и мы получим:

.

Так, например, для цикла

в рассмотренной выше задаче имеем

.

Для базисных клеток сумма потенциалов строки и столбца, в которых находится эта клетка, равна тарифу, соответствующему этой клетке; если же клетка для неизвестного

свободная, то сумму потенциалов