Математика в химии и экономике (стр. 2 из 3)

Решение. Введем в рассмотрение объем половины пробирки V₀ и концентрации растворов спирта в каждой из пробирок с₁, с₂ и с₃. Тогда первоначальное количество спирта в первой пробирке равно V₀с₁, во второй V₀с₂, в третьей V₀с₃ (рис. 3).

Для того чтобы решить задачу, подсчитаем количество спирта в первой и второй пробирках после того, как туда добавят содержимое третьей пробирки. Эти количества будут равны:

в первой пробирке

V₀с₁+1/2 V₀c₃ ,

во второй пробирке

V₀с₂+1/2 V₀c₃ .

Найдем новые концентрации спирта в этих пробирках. Для первой пробирки она равна

с₁=V₀с₁+1/2 V₀c₃ / 3/2 V₀ ,

для второй

с₂=V₀с₂+1/2 V₀c₃ / 3/2 V₀ .

По условию задачи с₁^*=0,8c₁ и с₂^*=1,1с₂, Тогда имеем систему двух уравнений с тремя неизвестными:

2/3 c₁+1/3 c₃=0,8c₁ ,

2/3 c₂+1/3 c₃=1,1c₂ ,

или

2c₁ -5c₃ =0 ,

13c₂ -10c₃=0 .

Из этой системы, так же как и в предыдущей задаче нельзя определить все три концентрации с₁, c₂ и c₃. Но благодаря тому, что уравнения системы представляют собой однородные линейные выражения, из нее можно найти отношения двух концентраций к третьей например, с₁/с₃ и с₂/с₃:

m=с₁/с₃=5/2 , n=с₂/с₃=10/13 .

Количество спирта в первой пробирке относится к количеству спирта во второй пробирке, как m/n. Действительно,

V₀с₁/V₀с₂=m/n=13/4 .

Поэтому ответ в данной задаче такой: 13:4.

Обратимся теперь к задачам, которые можно объединить в одну группу из-за того, что их решение связано с выявлением общей закономерности изменения той или иной величины в результате многократно повторяющейся операции.

Рассмотрим следующий пример.

Задача 3. В сосуде, объем которого равен V₀ л, содержится р%-ный раствор соли (рис. 4). Из сосуда выливается, a л смеси и доливается а л воды, после чего раствор перемешивается. Эта процедура повторяется n раз. Спрашивается, по какому закону меняется концентрация соли в сосуде, т.е. какова будет концентрация соли после n процедур?

Решение. Очевидно, что первоначальное количество соли в растворе равно

p/100 x V₀ .

После того как отлили а л смеси, в растворе осталось

p/100 x V₀ - p/100 x a = p/100 x V₀ (1-a/V₀)

соли, а ее концентрация после добавления а л воды стала равной

c₁ = p/100 х (1-a/V₀) .

После того как отлили еще а л смеси (но уже с концентрацией c₁), в растворе осталось соли

1/100 х V₀ (1-a/V₀)-c₁a= p/100 х V₀ (1-a/V₀)² ,

а ее концентрация после добавления а л воды стала равной

c₂=p/100 х (1-a/V₀)² .

Нет надобности еще раз проделывать ту же процедуру, чтобы убедиться, что концентрация соли в растворе после n переливаний определяется формулой

c_n=p/100 (1-a/V₀)ⁿ , (формула 2)

А теперь решим несколько задач.

1. Задача на разбавление.

Из сосуда, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили водой; потом опять вылили столько же литров смеси, тогда в сосуде осталось 24л чистой кислоты. Емкость сосуда 54л. Сколько кислоты вылили в первый и второй раз?

Решение.

Пусть в первый раз вылили х литров кислоты. Тогда в сосуде осталось 54-х литров кислоты. Во второй раз вылили х литров раствора кислоты концентрации

100(54-х)/54%., то есть в этом растворе было х(54-х)/54 чистой кислоты. То есть

х+х

=54-24

54х +54х-х² =5430

х² – 108х + 1620 = 0

х₁=90-не удовлетворяет условию задачи

х₂= 18

Следовательно, в первый раз вылили 18л кислоты, во второй раз – 12л.

2. Задача на смешивание. (задача № 491)

Условие приведено на стр.4.

Пусть х – масса 1-го раствора, тогда концентрация его 0,8/х, масса второго раствора 10-х, концентрация второго раствора 0,6/(10-х). Следовательно,

- = 0,1

0,8(10-х) – 0,6х = 0,1х(10-х)

х=20- не удовлетворяет условию задачи

х=4

Следовательно, масса первого раствора 4 кг, масса второго раствора 6 кг.

Задачи на банковские проценты:

За хранение сбережений вкладчика и разрешение распоряжаться этими деньгами банк выплачивает вкладчику проценты к хранящейся сумме денег. В зависимости от способа начисления проценты делятся на простые и сложные.

1. Простые проценты.

Увеличение вклада S₀ по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада независимо от срока хранения и количества периодов начисления процентов. Пусть вкладчик открыл счет и положил на него S₀ рублей. Пусть банк обязуется выплачивать в конце каждого года р% от первоначальной суммы S_0. Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составит

руб., и величина вклада станет равной S₁=S0

. Величину р % называют годовой процентной ставкой. Если оставить вклад еще на год, то начисление процентной ставки производится на первоначальный вклад S₀ и не производится на величину . То есть, через n лет сумма начисленных процентов составит П_n = руб., а величина вклада вместе с процентами составит S_n = S₀ руб. (формула 3). Отношение S_n/S₀ называют коэффициентом наращивания простых процентов.

Пример 1.

Вкладчик открыл в банке счет и положил на него S₀ = 150 000 рублей сроком на 4 года под простые проценты по ставке 18% в год. Какой будет сумма S₄, которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько рублей вырастет вклад за 4 года? Чему равен коэффициент наращивания?

Решение.

В нашем случае S₀ = 150 000, p = 18, n = 4. По формуле S_n = S₀ ^. ( 1 + n ^. p/ 100 рублей имеем S₄ =150 000 ^. ( 1 + 18 ^. 4 / 100 ) = = 258 000 рублей .

За 4 года вклад увеличился на 108 000 рублей = 258 000 рублей – 150 000 рублей. Коэффициент наращивания по формуле S_n / S₀=1+n ^. p / 100 равен S₄/S₀= 1,72. Он показывает, что за 4 года первоначальный вклад S0 увеличился в 1,72 раза.

Пример 2.

Какую годовую ставку простых процентов выплачивает банк , если вклад 12 000 рублей через 3 года достиг величины 14 160 рублей ? Определите коэффициент наращивания.

Решение.

По условию, S₀ = 12 000, S₃ = 14 160, n = 3. Из соотношения S_n = S_o ^. ( 1 +n ^. p / 1 000 ) рублей имеем p = (S₃ / S₀ – 1 ) ^. 1 000 /n. Подставляем в полученное выражение заданные значения, вычисляем результат: p = 5,(9), т.е. p = 6% . Коэффициент наращивания равен S₃ /S₀ = 1,18.

2. Сложные проценты.

Если проценты начисляются не только на первоначальный вклад, но и на приросшие проценты, то такое начисление называют правилом сложных процентов. Это правило тесно связано с формулой определения концентрации раствора после n переливаний (формула 2).

Мы говорим, что имеем дело со “сложными процентами”, в том случае, когда некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.

Рассмотрим сначала случай, когда в конце каждого этапа величина изменяется на одно и то же постоянное количество процентов - р%.

Некоторая величина S, исходное значение которой равно S₀, в конце первого этапа будет равна

S₁=S₀+p/100 х S₀ = S₀ (1+p/100) .

В конце второго этапа ее значение станет равным

S₂=S₁+p/100 х S₁ = S₁ (1+p/100) = S₀ (1+p/100)² .

Здесь множитель 1+p/100 показывает, во сколько раз величина S увеличилась за один этап. В предыдущих задачах о концентрациях эту роль играл множитель

1-a/V₀ .

В конце третьего этапа

S₃=S₂+p/100 х S₂ = S₀ (1+p/100)³ ,

и т. д.

Нетрудно понять, что в конце n-го этапа значение величины S определится формулой S_n= S₀ (1+p/100)ⁿ . (формула 4)

Формула (4) является исходной формулой при решении многих задач на проценты.

Пример3. Сберкасса выплачивает 3% годовых. Во сколько раз увеличится величина вклада через 2 года?

Решение. Пусть величина вклада составляет S₀ руб. Тогда через 2 года эта величина станет равной S₂= S₀(1+p/100)² = (1,03)² S₀ = 1,0609 S₀

Ответ. В 1,0609 раза.

Приведем обобщение формулы (4) на случай, когда прирост величины S на каждом этапе свой.

Пусть величина S в конце первого этапа испытывает изменение на p₁%, в конце второго этапа - на р₂%, в конце третьего этапа - на p₃% и т. д. Если p_k>0, то величина S на этом этапе возрастает, если p_k<0, то величина S на этом этапе убывает.

Как говорилось выше, изменение величины S на р% равносильно умножению этой величины на множитель 1+p/100. Поэтому окончательный вид искомой формулы такой:

S_n= S₀ (1+p₁/100) (1+p₂/100)... (1+p_n/100) . (формула 5)

Здесь S₀ - первоначальное значение величины S.