Алгебра матриц (стр. 2 из 2)

= 12-12 = 0; А – вырожденная матрица.

Теорема. Произведение матриц есть вырожденная матрица тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей есть вырожденная матрица.

Необходимость. Пусть АВ – вырожденная матрица, т.е.

=0. Тогда, в силу того, что определитель произведения матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц, имеем

Это значит, что хотя бы одна из матриц А или В является вырожденной.

Достаточность. Пусть в произведении АВ матрица А вырожденная, т.е.

=0. Найдем

, т.к.

=0; итак,

=0; АВ - вырожденная матрица.

Замечание. Доказанная теорема справедлива для любого числа множителей.

Обратная матрица

Определение. Квадратная матрица В называется обратной по отношению к матрице А такого же размера, если

АВ = ВА = Е. (1)

Пример.

В – матрица обратная к А.

Теорема. Если для данной матрицы обратная существует, то она определяется однозначно.

Предположим, что для матрицы А существуют матрицы Х и У, такие, что

АХ = ХА = Е (2)

АУ = УА = Е (3)

Умножая одно из равенств, например, АХ = Е слева на У, получим У(АХ) = УЕ. В силу ассоциативности умножения имеем (УА)Х = УЕ. Поскольку УА = Е, то ЕХ = УЕ, т.е. Х = У. Теорема доказана.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).

Обратная матрица А^-1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная.

Необходимость. Пусть для матрицы А существует обратная А^-1, т.е. А

А^-1 = А^-1

А = Е. Тогда, ½А

А^-1½= ½А½

½А^-1½=½Е½=1, т.е. ½А½

0 и ½А^-1½

0; А – невырожденная.

Достаточность. Пусть дана невырожденная матрица порядка n

так что ее определитель

0. Рассмотри матрицу, составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А:

ее называют присоединенной к матрице А.

Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам i-ой строки матрицы А стоят в i-ом столбце матрицы А^*, для

Найдем произведения матриц АА^* и А^*А. Обозначим АА^* через С, тогда по определению произведения матриц имеем: С_ij= а_i₁А₁_j + а_i₂А₂_j + … + а_inА_nj; i = 1, n: j = 1, n.

При i = j получим сумму произведений элементов i - ой строки на алгебраические дополнения этой же строки, такая сумма равняется значению определителя. Таким образом С_ij= |А| = D - это элементы главной диагонали матрицы С. При i

j, т.е. для элементов С_ijвне главной диагонали матрицы С, имеем сумму произведений всех элементов некоторой строки на алгебраические дополнения другой строки, такая сумма равняется нулю. Итак,

= АА^*

Аналогично доказывается, что произведение А на А^*равно той же матрице С. Таким образом, имеем А^*А = АА^* = С. Отсюда следует, что

Поэтому, если в качестве обратной матрицы взять

, то

Итак, обратная матрица существует и имеет вид:

Пример. Найдем матрицу, обратную к данной:

Находим D = |А| = -1 ¹ 0, А

существует. Далее находим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

= 0 ; А

= -1; А

= 3;

= -3; А

= 3; А

= -4;

= 1; А

= -1; А

= 1;