Смекни!
smekni.com

Алгебра матриц (стр. 1 из 2)

Основные понятия

Определение. Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, заполненная некоторыми математическими объектами, называется

– матрицей.

Мы будем рассматривать числовые матрицы. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Для обозначения матрицы, как правило, используются круглые скобки. При записи, в общем виде элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, из которых первый указывает номер строки, а второй – номер столбца матрицы. Например, матрица


В сокращенной записи: А=(аij); где аij - действительные числа, i=1,2,…m;

j=1,2,…,n (кратко

,
. ). Произведение
называют размером матрицы.

Матрица называется квадратной порядка n, если число ее строк равно числу столбцов и равно n:

Упорядоченный набор элементов а1122,…,аnn называется главной диагональю, в свою очередь, а1n2,n-1,…,аn1 – побочной диагональю матрицы. Квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условию:

называется диагональной, т.е. диагональная матрица имеет вид:

Диагональная матрица порядка n называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1. Матрица любого размера называется нулевой или нуль матрицей, если все ее элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е, нулевая – О. Матрицы имеют вид:

Линейные операции над матрицами

Определение. Суммой матриц А=(аij) и B=(bij) одинаковых размеров

называется матрица С=(сij) тех же размеров, такая что cij=aij+bij для всех i и j.

.

Таким образом, чтобы сложить матрицы А и В, надо сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,

A + B =

= C

Определение. Произведение матрицы А на число l называется матрица lА=(l аij), получаемая умножением всех элементов матрицы А на число l.

Например, если

и l=5, то

Разность матриц А и В можно определить равенством А-В=А+(-1)В.

Рассмотренные операции называются линейными.

Отметим некоторые свойства операций.

Пусть А,В,С – матрицы одинакового размера; a,b - действительные числа.

А+В = В+А – коммутативность сложения.

(А+В)+С = А+(В+С) – ассоциативность сложения.

Матрица О, состоящая из нулей, играет роль нуля: А+О=А.

Для любой матицы А существует противоположная –А, элементы которой отличаются от элементов А знаком, при этом А+( -А)=О.

a(bА) = (ab)А = (aА)b. 6. (a+b)А = aА+bА.

7. a(А+В) = aА+aВ. 8. 1* А = А. 9. 0 * А = 0.

Умножение матриц

В матричной алгебре важную роль играет операция умножения матриц, это весьма своеобразная операция.

Определение. Произведением матрицы А=(аij) размера

и прямоугольной матрицы B=(bij) размера
называется прямоугольная матрица С=(сij) размера
, такая что cij=ai1+b1j+ ai2+b2j+…+ aik+bkj;
,
.

Таким образом, элемент произведения матриц А и В, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки первой матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца второй матрицы В т.е.

.

Произведение С=АВ определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Это условие, а также размеры матриц можно представить схемой:

Очевидно, что операция умножения квадратных матриц всегда определена.

Примеры. Найдем произведения матриц АВ и ВА, если они существуют.

1.

,
.

2.

,
.

Таким образом, коммутативный (переместительный) закон умножения матриц, вообще говоря, не выполняется, т.е.

В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А n-го порядка на единичную матрицу Е такого же порядка, т.е.

3.

,
.

Для этих матриц произведение как АВ ,так и ВА не существует.

,

Получим

, ВА – не существует.

Свойства умножения матриц.

Пусть А,В,С – матрицы соответствующих размеров (т.е. произведения матриц определены), l - действительное число. Тогда на основании определений операций и свойств действительных чисел имеют место следующие свойства:

(АВ)С = А(ВС) – ассоциативность.

(А+В)С = АС+ВС – дистрибутивность.

А(В+С) = АВ+АС – дистрибутивность.

l(АВ) = (lА)В = А(lВ).

ЕА = АЕ = А, для квадратных матриц единичная матрица Е играет роль единицы.

Приведем пример доказательства лишь одного свойства. Докажем, например, свойство 3.

Пусть для А=(аij), B=(bij), C=(cij) произведения матриц определены. Найдем элемент i-ой строки и j-го столбца матрицы А(В+С). Это будет число

аi1(b1j+c1j)+ аi2(b2j+c2j)+…+аin(bnj+cnj) =

i1b1j+ai2b2j+…+ainbnj)+ (аi1c1j+ai2c2j+…+aincnj).

Первая сумма в правой части равенства равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АВ, а вторая сумма равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АС. Рассуждение верно при любых i и j, то свойство 3 доказано.

Упражнение 1. Проверьте свойство ассоциативности 1 для матриц:

,
,
.

Упражнение 2. Проверьте свойство дистрибутивности 2 для матриц:

,
,
.

Упражнение 3. Найти матрицу А3, если

.

Вырожденные и невырожденные матрицы

Определение. Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.

Пример.

,
= 16-15 = 1
0; А – невырожденная матрица.