Матрица называется квадратной порядка n, если число ее строк равно числу столбцов и равно n:
называется диагональной, т.е. диагональная матрица имеет вид:
Диагональная матрица порядка n называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1. Матрица любого размера называется нулевой или нуль матрицей, если все ее элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е, нулевая – О. Матрицы имеют вид:
![](data:image/png;base64,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)
Линейные операции над матрицами
Определение. Суммой матриц А=(аij) и B=(bij) одинаковых размеров
называется матрица С=(сij) тех же размеров, такая что cij=aij+bij для всех i и j.
.Таким образом, чтобы сложить матрицы А и В, надо сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,
A + B =
= CОпределение. Произведение матрицы А на число l называется матрица lА=(l аij), получаемая умножением всех элементов матрицы А на число l.
![](data:image/png;base64,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)
Например, если
и l=5, то ![](data:image/png;base64,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)
Разность матриц А и В можно определить равенством А-В=А+(-1)В.
Рассмотренные операции называются линейными.
Отметим некоторые свойства операций.
Пусть А,В,С – матрицы одинакового размера; a,b - действительные числа.
А+В = В+А – коммутативность сложения.
(А+В)+С = А+(В+С) – ассоциативность сложения.
Матрица О, состоящая из нулей, играет роль нуля: А+О=А.
Для любой матицы А существует противоположная –А, элементы которой отличаются от элементов А знаком, при этом А+( -А)=О.
a(bА) = (ab)А = (aА)b. 6. (a+b)А = aА+bА.
7. a(А+В) = aА+aВ. 8. 1* А = А. 9. 0 * А = 0.
Умножение матриц
В матричной алгебре важную роль играет операция умножения матриц, это весьма своеобразная операция.
Определение. Произведением матрицы А=(аij) размера
и прямоугольной матрицы B=(bij) размера
называется прямоугольная матрица С=(сij) размера
, такая что cij=ai1+b1j+ ai2+b2j+…+ aik+bkj;
,
.Таким образом, элемент произведения матриц А и В, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки первой матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца второй матрицы В т.е.
.
Произведение С=АВ определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Это условие, а также размеры матриц можно представить схемой:
Очевидно, что операция умножения квадратных матриц всегда определена.Примеры. Найдем произведения матриц АВ и ВА, если они существуют.
1.
,
.
![](data:image/png;base64,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)
2.
,
.
![](data:image/png;base64,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)
Таким образом, коммутативный (переместительный) закон умножения матриц, вообще говоря, не выполняется, т.е.
В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А n-го порядка на единичную матрицу Е такого же порядка, т.е. ![](data:image/png;base64,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)
3.
,
.Для этих матриц произведение как АВ ,так и ВА не существует.
,
![](data:image/png;base64,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)
Получим
, ВА – не существует.Свойства умножения матриц.
Пусть А,В,С – матрицы соответствующих размеров (т.е. произведения матриц определены), l - действительное число. Тогда на основании определений операций и свойств действительных чисел имеют место следующие свойства:
(АВ)С = А(ВС) – ассоциативность.
(А+В)С = АС+ВС – дистрибутивность.
А(В+С) = АВ+АС – дистрибутивность.
l(АВ) = (lА)В = А(lВ).
ЕА = АЕ = А, для квадратных матриц единичная матрица Е играет роль единицы.
Приведем пример доказательства лишь одного свойства. Докажем, например, свойство 3.
Пусть для А=(аij), B=(bij), C=(cij) произведения матриц определены. Найдем элемент i-ой строки и j-го столбца матрицы А(В+С). Это будет число
аi1(b1j+c1j)+ аi2(b2j+c2j)+…+аin(bnj+cnj) =
(аi1b1j+ai2b2j+…+ainbnj)+ (аi1c1j+ai2c2j+…+aincnj).
Первая сумма в правой части равенства равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АВ, а вторая сумма равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АС. Рассуждение верно при любых i и j, то свойство 3 доказано.
Упражнение 1. Проверьте свойство ассоциативности 1 для матриц:
,
,
.Упражнение 2. Проверьте свойство дистрибутивности 2 для матриц:
,
,
.Упражнение 3. Найти матрицу А3, если
.Вырожденные и невырожденные матрицы
Определение. Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.
Пример.
,
= 16-15 = 1
0; А – невырожденная матрица.