Во-вторых, стандартный вариант, если внимательнее присмотреться, не очень-то прост. Если у нас задана только одна единственная равномерная постоянная скорость, то ее количественное выражение может быть двояким. Скорость – как отношение отрезка пути к заданной единичной мере времени [м/с], и совершенно эквивалентное отношение периода времени, затраченного для прохождения единичного отрезка расстояния [с/м].
Зададимся простым вопросом: почему в обычном понимании движения исключена альтернативная размерность, почему мы не выражаем скорость как количество секунд, затрачиваемых на прохождение единицы расстояния – ведь это отношение логически допустимо, а математически вполне индивидуально для каждой конкретной скорости?
Разве нас удивляет, что на стадионе спортивный результат судьи выражают не в численном значении скорости бегуна, а в количестве времени, затраченном на прохождение дистанции? Это ведь уникальный факт: движение измеряется не метрами за секунду, а временем, которое потребовалось для преодоления заданного расстояния! Тем не менее, в физике данная мера движения с размерностью [с/м] отвергается. Почему?
На этот «детский» вопрос можно дать вполне серьезный ответ. Множество всевозможных скоростей люди упорядочивают по принципу «медленнее-быстрее», и, сообразно этому, выстраивают по вектору «меньше-больше»: чем быстрее скорость, тем она численно больше, – большее количество метров преодолевается за единицу времени. Взяв же иную меру, мы столкнемся с обратным соотношением: большей быстрости вынуждены будем приписывать меньшее число, – чем быстрее движется материальная точка, тем меньшее количество секунд ей требуется для прохождения единичного расстояния.
Традиционный спектр скоростей начинается с нуля (покой) и количественно возрастает по мере увеличения-убыстрения скорости (в классической механике верхний предел скорости неограничен). «Самая быстрая», бесконечно большая скорость – это бесконечное количество метров за единицу времени. А вот с альтернативной размерностью [с/м] все выглядит точно наоборот: покой – это бесконечное количество секунд, затрачиваемых на «прохождение» единичного расстояния, так сказать, бесконечно большая медленность. Согласитесь, считать от бесконечности к нулю, по крайней мере, не удобно.
Может показаться, что наши рассуждения – мудрствования на пустом месте. Однако это не так. Достаточно сказать, что Готфрид Лейбниц при создании математического анализа неоднократно размышлял над этим вопросом. Он писал: «Покой может рассматриваться как бесконечно малая скорость или как бесконечно большая медленность» [2].
У Лейбница есть еще одно примечательное рассуждение: он отождествляет нулевую скорость движения по окружности с бесконечной скоростью, когда «каждая точка окружности должна всегда находиться в одном и том же месте» [3]. То есть логически отождествляются не только «0м/с» и «∞с/м» (соответственно «∞м/с» и «0с/м»), но также «0м/с» и «∞м/с» при циклическом движении. Это последнее отождествление открывает перед нами одну интересную возможность.
Почему не удобно отсчитывать увеличение скорости движения в мере [с/м]? Потому, что приписывая системе отсчета бесконечную медленность и вводя для движущейся точки некую единичную медленность 1[с/м], мы не получим равномерную шкалу величин, где можно арифметически складывать А[с/м]+В[с/м]=(А+В)[с/м]. То есть такое сложение будет противоречить нормальному представлению о том, как оцениваются скорости при переходе от одной системы отсчета к другой. Но дело коренным образом измениться, если мы воспользуемся, так сказать, «преобразованием Лейбница».
В самом деле, когда мы в классическом принципе относительности выявили необходимость введения третьей точки, задающей неизменную меру расстояния, именно эта третья точка и служила прообразом покоя – за любой период времени она «могла пройти» только нулевое расстояние. Если мы, вслед за Лейбницем, отождествим покой и бесконечную скорость циклического движения, то обнаружим удивительную вещь: приписав такой покоящейся точке бесконечную скорость, мы вместе с мерой длины вводим и меру круговой траектории, длина которой определяется мерой длины как радиусом. Тогда оказывается, что в мере медленности [с/м] эта скорость будет уже обладать не бесконечной, а нулевой медленностью: для обегания этого радиуса ей требуется ноль секунд. Теперь мы уже можем вести нормальное сложение медленностей, но единичной медленностью будет считаться 1 секунда, требуемая для обегания единичной круговой траектории. Соответственно, обегание этой траектории за 2 секунды дает другую величину скорости движения – более медленную и т.п. При этом относительность в таком круговом движении полностью сохраняется, а «медленности» можно складывать арифметически. Иными словами, теперь для величин медленности строится нормальная ось, где отсчет идет от нуля до бесконечности. Правда, к бесконечной медленности – к полному покою – двигаются не линейные перемещения по прямой, а скорости передвижения по единичной круговой траектории.
А теперь самое интересное. Если для такой величины как медленность также должен действовать неархимедов закон сложения, аналогичный релятивистскому сложению обычных скоростей, то до бесконечной медленности нам не добраться. Должна существовать верхняя грань – предел медленности, столь же недостижимый, как скорость света. Мерой этого предела будет, естественно, [с/м] – то есть величина обратная мере скорости. И если эмпирическая предельная скорость C реально существует и измеряется в [м/с], то должна существовать некая эмпирическая константа, измеряемая в [с/м]. Это и есть, введенная нами выше «обратная скорость света» – «скорость темноты» – а на самом деле константа e2/h. Этот результат, в принципе, не удивителен. В самом деле, если переход от классической физики к релятивистской выразился в том, что роль бесконечности стала исполнять конкретная величина – скорость света C[м/с], то вполне логично, что должен теперь по иному пониматься и статус нижней границы – нуля. Мы просто обнаружили, что вместо нуля появилась некая величина с размерностью [с/м], столь же недостижимая, как и скорость света.
Математические абстракции и механическое движение
Можно задаться вопросом: значит ли все вышеизложенное, что для абстрактного линейного континуума существуют естественная метрика и реальный закон, упорядочивающий возрастание величины в области действительных чисел, располагающихся между недостижимыми точками «0» и «∞»? Я полагаю, что – да. Правда, для того чтобы это четко показать надо точно уяснить: что он из себя представляет – этот линейный континуум? Мы опять возвращаемся к математической проблеме о существовании гипердействительных чисел, нестандартному анализу и необходимости расширения поля действительных чисел.
Как уже отмечалось, релятивистский закон сложения обычных скоростей нарушает аксиому Евдокса–Архимеда, и хотя сам этот закон является следствием преобразований Лоренца для 4-х мерного псевдоэвклидового простраства-времени, нестандартный подход позволяет взглянуть на суть дела несколько по иному.
Ничто не мешает нам перевернуть отношение и сказать, что неархимедово сложение величин является первопричиной, а псевдоевклидово пространство – моделью, которая отражает это более фундаментальное отношение. Иными словами, для любой величины, изменяющейся по линейному закону от нуля до бесконечности, мы можем ввести мнимую дополнительную координатную ось и коэффициент перевода этой величины в ее мнимую меру. Тем самым будет задан закон преобразований, по которому линейное прибавление единичных величин будет осуществляться по неархимедовому закону сложения. Возникает вопрос: если скорость – это отношение расстояния и периода времени, то каким образом мы должны определять скорость изменения величины по отношению к самой себе?
В настоящий момент в теоретической физике обсуждается дискуссионная проблема о введении так называемого «пятого измерения», которое помещается в область микровеличин и играет роль только в этой области, «исчезая» для более глобальных масштабов. Такие попытки отражают фундаментальную теоретическую потребность, глубокую неудовлетворенность физиков конструктивными особенностями стандартных математических представлений.
Наиболее явно эту неудовлетворенность выразил Ричард Фейнман в курсе лекций «Характер физических законов». Он пишет: «Теория, согласно которой пространство непрерывно, мне кажется неверной, потому что она приводит к бесконечно большим величинам и другим трудностям. Кроме того, она не дает ответа на вопрос о том, чем определяются размеры всех частиц. Я сильно подозреваю, что простые представления геометрии, распространенные на очень маленькие участки пространства, неверны. Говоря это, я, конечно, всего лишь пробиваю брешь в общем здании физики, ничего не говоря о том, как ее заделать» [4].
Более того, расхождение между математическими понятиями и физическими представлениями давно уже зафиксировано самими математиками. Вот какое примечательное суждение высказано в известной книге Д.Гильберта и П.Бернайса: «На самом деле мы вовсе не обязаны считать, что математическое пространственно-временное представление о движении является физически осмысленным также и в случаях произвольно малых пространственных и временных интервалов. Более того, у нас имеются все основания предполагать, что, стремясь иметь дело с достаточно простыми понятиями, эта математическая модель экстраполирует факты, взятые из определенной области опыта, а именно из области движений в пределах того порядка величин, который еще доступен нашему наблюдению... Подобно тому, как при неограниченном пространственном дроблении вода перестает быть водой, при неограниченном дроблении движения также возникает нечто такое, что едва ли может быть охарактеризовано как движение» [5].