Дифференциальная геометрия (стр. 2 из 3)
Невырожденной наз. такая особая точка векторного поля, что детерминант
в этой точке отличен от нуля, где xi - координаты векторного поляx в системе координат (x1,…, xn).Индексом особой точки векторного поля v(x), наз. знак детерминанта
, где xi - координаты векторного поля x в системе координат (x1,…, xn).Базисным наз. такое векторное поле на мн-зии, что вектора, соответствующие ему на карте в каждой точке можно дополнить до базиса на этой карте.
Голономными называются такие векторные поля v и w, что [v,w]=0.
Теорема. Пусть a1,…,an – голономные л.н.з. поля, тогда локально они являются базисными.
Правильной для отображения ¦ из мн-зия M1 в M2 наз. точка из исходного мн-зия M1, такая, что матрица Якоби в этой точке имеет максимальный ранг.
Регулярной точкой отображения из мн-зия M1 в M2 наз. такая точка из мн-зия M2, что все точки из ее прообраза – правильные.
Степенью отображения в регулярной точке, прообраз которой состоит из конечного числа точек, наз. сумма знаков детерминантов отображений из прообразов регулярной точки в эту точку.
Числом вращения векторного поля в особой точке Р наз. степень отображения векторного поля на кривой, окружающей особую точку в единичную окружность по формуле ¦x(x 1,…,x n)=
, где x - векторное поле на мн-зии. Оно совпадает с индексом особой точки.Сопряженным к пр-ву векторов V называют пр-во V* линейных вектор-функций, называемых ковекторами. Матрицей перехода от одной системы координат К другой является матрица, обратная к якобиану.
Гладкой гомотопией отображения ¦ из M в N наз. такое отображение цилиндра, полученного как результат прямого произведения гладкого мн-зия N на отрезок [0, 1], в гладкое мн-зие М, такое, что отображение точки (x,0) совпадает с ¦(x).
Гомотопией или процессом гомотопии называются все множество гладких гомотопий.
Гомотопными называются отображения ¦t(x), такие, что существует такая гомотопия, что оба отображения содержатся в ней.
Гомотопически эквивалентными называют такие два многообразия, что существуют гладкие отображения, переводящие одно в другое и наоборот, что их композиции гомотопны соответствующим тождественным отображениям.
Тензором типа (p, q) ранга p+q наз. полилинейная ф-я от p векторов и q ковекторов. У него np+q координат
=T(e1,…,ep,E1,…,Eq).Тензором типа (p, q) ранга p+q наз. объект, задаваемый в каждой система координат набором чисел
, преобразующихся при замене систем координат (x)®(x’) по закону: = 
.Тензором типа (p, q) ранга p+q наз. полилинейный функционал, заданный на мн-ии, аргументы к-го являются векторные поля.
Теорема. Эти определения тензора эквивалентны.
Теорема. Значение тензора на p векторах и q ковекторах инвариантно относительно системы координат.
Сложение тензоров: =1 +2 .
Умножение Тензоров. 
= 
× 
.
Свертка Тензора.
Симметрирование.
.Альтернирование.
.Симметричным (Кососимметричным) называется такой тензор j, что js=j (js=(-1)sj).
Теорема. jalt – кососимметричный. jsym – симметричный. (js)alt=(-1)sjs.
(js)sym=jsym. Еслиj - симметричный, чтоj=jsym.
Теорема. Пр-во кососимметричных тензоров типа (p,0) имеет размерность 0, если p>n и 1 иначе.
Операцией опускания индексов наз. операция, ставящая в соответствие тензору
тензор = 
, где aij- невырожденное тензорное поле типа (0, 2) (то есть $ A-1(aij)).Теорема. Симметричность инвариантна относительно замены координат.
.Символами Кристоффеля наз. функция
или в коорд. 
.Теорема.
.Тензором Ковариантного дифференцирования Ñ или связностью наз. тензор:
Ñ
= 
+ 
- 
.Тензор кручения наз. тензор, задаваемый в каждой системе координат равенством:
Симметричной наз. связность Ñ, тензор кручения которой равен нулю.Ñ линейна и удовлетворяет правилу Лейбница.
Теорема. Связность симметрична титт, когда
.Согласованной с Римановой связностью на мн-ии M называется такая Метрика G, что ÑG=0 всюду на мн-ии.
Теорема. На римановом мн-ии существует единственная риманова связность, согласованная с метрикой.
Тензором кривизны Римана данной связности Ñ наз. следующий тензор:
= 
.Теорема. Пусть задано многообразие M и пусть тензор кривизны R на этом многообразии отличен от нуля во всех точках, тогда на многообразии M нельзя ввести локально-евклидовы координаты, т.е. такие, в которых матрица gij постоянна.
Теорема. На двумерном Римановом мн-ии R=2K, где K – гауссова кривизна, а R =gkl .
R(X,Y)Z=ÑxÑy(z)- ÑyÑx(z)- Ñ[x,y](z).
Кривизной по двумерному направлению X,Y называется число R(s)=(R(X,Y)X,Y), где X, Y – заданные векторные поля.
Теорема. Пусть M – двумерное риманово многообразие и K(P) – гауссова кривизна, тогда R(s)=K(P).
Коммутатором ковариантного дифференцирования тензора наз. тензор [Ñk,Ñl](Ti)=Tq 
, где [Ñk, Ñl] =(ÑkÑl - ÑlÑk), и T=(Ti) – тензорное поле на заданном мн-зии.
Кососимметричным тензорным полем наз. такое тензорное поле
, что его компоненты меняют знак при транспонировании любых двух соседних индексов одного типа.Дивергенцией векторного поля по определению называют тензор
Div(Ti)=
.Внешним умножением кососимметричных тензоров j1иj2называется тензор j1^j2=(j1Äj2)alt. Оно линейно, антикоммутативно.
Св-во. Пусть j1 и j2 кососимметричные тензоры типа (p,0) и (q,0), тогда j2^j1=(-1)pqj1^j2.
Алгеброй дифференциальных форм Ù(Mn) наз. алгебра, представителями которой являются линейные комбинации w(k)= 
и комбинации
где 
– кососимметричное тензорное поле ранга q и индексы j1…jq упорядоченные в порядке возрастания.