j¢( y0)=0 ®f¢y(x0,y0)=0, аналогично по х.
Опр. Точка р0 при этом наз. стационарной точкой (в которой часные производные равны нулю).
Из этого следует, что экстремум функция 2х переменных может достигать только в стационарных точках (если она диф-ма ), но не во всякой стационарной точке функция достигает экстремума, т.к это только необходимое условие, но недостаточное условие.
Теорема: Достаточное условие существования экстремума ф-ции 2х переменных.
Пусть ф-я z=f(x,y) диф-ма в точке р0 и эта точка явл. стационарной точкой , найдем часные производные 2ого порядка этой функции
r=¶2z/¶x2 s=¶2z/¶x¶y t=¶2z/¶y2
Вычислим в точке р0 значение выражения (rt-s2)po, если это выражение >0, то в т. р0 сущ. экстремум.
При этом если r>0 р0 -min; r<0 р0 -max
Если rt-s2<0 - экстремума нет.
rt-s2=0 - экстремум возможен, требуются дополнительные исследования.
Определение наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области.
Пусть задана ф-я z=f(x,y) в замкнутой области Д.
F(x,y)=0 - уравнение границы Д.
Требуется найти наибольшее и наименьшее значения ф-ции в этой области.
Эти значения функция может достигать либо в экстремальных точках внутри области, либо на границе области, поэтому решение задачи делится на 2 этапа:
1.Сначала находим стационарные точки внутри области. В этих тосках возможны экстремумы. Вычисляем зачение заданной функции в этой точке.
2.Определяем наиб. и наим. Значение функции на границе области.
3.Сравниваем полученное значение и выбираем наиб. и наим. знач.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения на границе области Д.
Пусть граница области имеет уравнение F(x,y)=0 -y=y(x) - на гр. обл. Д
z=f(x,y) = f[x,y(x)]=z(x) - является сложной функцией.
Необходимо найти min и maxz(x) на границе. Для этого надо найти экстремумы внутри области (достаточно найти точки, где возможны экстремумы и вычислить значение функции в этих точках).
Леция №4
Определение интеграла по фигуре.
Пусть дана фигура G , р - текущая точка на фигуре.
f(p) - заданная на фигуре G
Выполним след. операции:
1.Разобьем G на куски: DG1, DG2,…, DGn, - меры кусков.
2.Внутри каждого куска выберем по 1 точке р1, р2, р3…
3.Вычисляем значение функции в выбранных точках
4.Составляем сумму произведений
f(p1)* DG1+ f(p2)* DG2+… +f(pn)* DGn=(n/i=1)åf(pi)*DGi -
эта сумма называется интегральной суммой функции f(p) по фигуре G при разбиениии n
Опр. Интегралом по фигуре G функции f(p) называется предел интегральных сумм этой функции, когда n®0
òGf(p)dG=Lim(n®¥)*(n/i=1)åf(Pi)*DGi
Если этот предел существует и независит от способов разбиения при условии, что диаметры кусков при этом стремятся к нулю.
Диаметром куска называется его максимальный линейный размер.
Max dim DG ®0
Cвойства интеграла по фигуре.
1.Итеграл по фигуре от единичной функции равен мере фигуры.
òGdG=G- мера фигуры
Док-во: по определению
òGdG=Lim(n®¥)*(n/i=1)å1*DG=G- как сумма мер всех кусков.
¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥òòòòòòòòåååååå