Бернулли (стр. 4 из 6)

В письме Лейбницу 4 сентября 1696 г. И. Бернулли показал, что «уравнение Бернулли» dy/dx=р(х)у+q(х)уn сводится заменой у1-n=z к линейному. Из письма Лейбницу в том же году следует, что И. Бернулли проинтегрировал уравнение у=хφ(dу/dх)+ψ(dу/dх), называемое теперь уравнением Лагранжа. Около 1700 г. И. Бернулли применил интегрирующий множитель xk для последовательного понижения порядка уравнения Эйлера

а0хndпу/dхn+а1хп-1dп-1у/dхn-1+ … +аn-1хdу/dх+аny=0.

Помимо этого И. Бернулли занимался еще уравнением Риккати и задачей о колебании струны.

Статья И. Бернулли «Общий способ построения всех дифференциальных уравнений первого порядка» содержит идею метода изоклин, применяемого при графическом решении уравнений первого порядка. Существо вопроса состоит в следующем. Общему решению у=f(x; С) дифференциального уравнения первого порядка у'=f(х; у) на плоскости соответствует семейство интегральных кривых. Само уравнение определяет в каждой точке плоскости значение у', т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке. Если всюду на плоскости задается значение некоторой величины, то говорят о поле этой величины. Значит, дифференциальное уравнение задает поле уравнений, а задача нахождения общего решения уравнения состоит в отыскании кривых, для которых направления касательных совпадают с направлениями поля.

III

Третий гениальный представитель рода Бернулли, Даниил, занимает среди Бернулли и в науке особое место. Особенность эта объясняется, во-первых, разносторонностью его научных интересов и значительностью полученных им результатов практически во всех областях точного естествознания своего времени, во-вторых, прикладной направленностью исследований. В книгах, в какой-либо мере связанных с историей науки, Даниила Бернулли называют по-разному: физиологом, астрономом, физиком, математиком, механиком, гидродинамиком. И не без основания: Д. Бернулли вместе с Л. Эйлером, И. Бернулли, Ж. Д’Аламбером, Ж. Лагранжем и другими выдающимися математиками и механиками XVIII в. создавал основы классической науки.

В очерке о роде Бернулли говорилось, что в 1723 г. Д. Бернулли отправился в Венецию для занятия медициной под руководством итальянского врача П. А. Микелотти. За два года до приезда Д. Бернулли в Венеции была опубликована «физико-механико-медицинская» диссертация Микелотти «О разделении жидкостей в теле животного», в которой рассматривались вопросы гидродинамики живых организмов. Она вышла в одном переплете со вторым изданием медицинской диссертации И. Бернулли «О движении мускулов», что свидетельствовало о научном авторитете Бернулли среди итальянских ученых и благоприятствовало деятельности Д, Бернулли в Венеции.

С помощью «одного знатного венецианца» Д. Бернулли в 1724 г. издал «Математические упражнения» («Даниила Бернулли из Базеля, сына Иоганна, некоторые математические упражнения»), направленные в защиту идей отца и дяди от нападок некоторых итальянских ученых. Книга представляет как бы обзор научной деятельности автора за предыдущие годы и содержит многие идеи, развитые им впоследствии. Через год некоторые результаты были опубликованы в «Acta Eruditorium» и стали достоянием более широкого круга ученых.

«Математические упражнения» состоят из четырех разделов: три посвящены математике, один (второй) — приложениям математики к гидравлике и медицине. В части книги, связанной с математикой, Бернулли полимезирует с итальянскими математиками (Д. Ризетти, Д. Риккати и др.) по разрабатываемой в то время чистой математике. Здесь содержится много ссылок на работы, помещенные в разное время в «Acta Eruditorium»; это служит свидетельством того, что автор был в курсе новейших открытий. Наиболее значима часть книги, посвященная исследованию дифференциального уравнения Риккати.

Развитие математики в первой половине XVIII в. характеризовалось тем, что наряду с детальным рассмотрением различных классов функций наблюдалось дальнейшее исследование дифференциальных уравнений и применение их к задачам механики, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления. Уравнения интегрировались как в конечном виде, так и с помощью рядов.

Ко времени опубликования «Математических упражнений» в работах Лейбница, Я. и И. Бернулли были найдены способы интегрирования однородных и линейных уравнений первого порядка, а также уравнений Я. Бернулли.

y'=f(х; у), в котором правая часть является функцией отношения у/х. В 1693 г. Лейбниц нашел метод сведения таких уравнений к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой у=их.

Линейное уравнение первого порядка имеет вид у'+Р(х)у=Q(х).

Метод решения таких уравнений, когда функция у отыскивается в виде произведения двух новых функций (у=иу), был разработан примерно в то же время и также Лейбницем. Уравнение вида

y'+Р(х)у=Q(х)уп предложил Я. Бернулли. Оно в 1696—1697 гг. было решено тем же методом, что и линейное, Лейбницем, Я. и И. Бернулли; кроме того, Лейбниц и И. Бернулли показали, что оно сводится к линейному подстановкой y1-n=z

К некоторым уравнениям применялся также интегрирующий множитель. Я. Бернулли предложил прием понижения порядка к уравнению второго порядка, не содержащему явно одной из переменных, заменой y'=p. Работа Я. Бернулли увидела свет позднее, после того как Риккати в 1715 г. опубликовал свое исследование о том же методе.

В 1694 г. в «Асtа Eruditorium» И. Бернулли поместил небольшую статью, в которой упоминалось уравнение тина Риккати. Он писал: «Я еще не выяснил, можно ли разрешить дифференциальное уравнение х2dх + у2dх = d2у». После этой публикации уравнением y’=у2+х2

заинтересовался Я. Бернулли, о чем свидетельствуют его письма Лейбницу в 1697—1704 гг. «Я бы хотел далее от тебя узнать, пытался ли ты исследовать dу=у2dх+х2dх,— писал Я. Бернулли Лейбницу 27 января 1697г.— Я делал множество попыток, но решение этой задачи постоянно ускользало от меня». «Кстати, я вспоминаю другое уравнение dу=у2dх+х2dх,— писал он Лейбницу 15 ноября 1702 г.,— в котором мне не удалось разделить переменные так, чтобы уравнение осталось просто дифференциальным; но я разделил их сведением к следующему дифференциальному уравнению: d2у:у=-х2dx2».

Хотя Я. Бернулли не удалось решить уравнение в конечном виде, интерес к нему у математиков утих. Лишь в 1724 г. граф Джакопо Риккати в Дополнении VIII к «Асtа Eruditorium» поставил задачу: для уравнения у'=ахп+bу2 (а и b — постоянные) найти значения п, при которых оно допускает разделение переменных. Ею занялись Иоганн I, Николай I, Николай II и Даниил Бернулли, но, кроме Даниила, существенных результатов никто не получил.

Д. Риккати свое решение в упомянутом дополнении выразил в виде анаграммы.

В том же выпуске «АсtaEruditorum» была помещена заметка Д. Бернулли, в которой он написал, что уравнение ахndх+ииdх=bdи считается неразрешимым.

Бернулли приступил к исследованию уравнения и вскоре опубликовал свои результаты в «Математических упражнениях». Он установил, что уравнение Риккати допускает интегрирование в конечном виде в случаях n= -4k/(2k±1) (k—целое число).

Случай п=—2 рассмотрел Эйлер. В 1841 г. Лиувилль доказал, что в случаях, отличных от указанных Д. Бернулли и Эйлером, решение уравнения Риккати не сводится к квадратурам и не может быть выражено с помощью конечного числа элементарных функций. Уравнение

у'+а(х)y2+b(x)y+c(x)=0

теперь называют обобщенным уравнением Риккати. Его исследовал Эйлер и установил, что если известно одно частное решение у1(х) уравнения, то подстановка y=y1 (х)+1/и{х) приводит его к линейному. Если же известны два частных решения y1(x) и у2(x), то общий интеграл уравнения находится одной квадратурой.

Интерес к уравнению Риккати объясняется тем, что оно встречается при решении некоторых задач механики; кроме того, к нему можно свести любое линейное уравнение второго порядка.

Интересы Д. Бернулли были разнообразны. И вскоре он заинтересовался древней неразрешимой задачей квадратуры круга просуществовавшей многие века, будоража умы математиков всех времен. Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) пытался справиться с квадратурой круга при помощи квадрируемых фигур, ограниченных дугами двух окружностей, названных гиппократовыми луночками. Такую луночку можно, например, построить следующим образом: возьмем четверть круга радиуса r и на хорде АС, соединяющей концы радиусов ОА и ОС, опишем как на диаметре внешнюю по отношению к четверти круга полуокружность.

Тогда АС=r√2 и площадь четверти большего круга будет такой же, как площадь меньшего полукруга, т. е. πr2/4.

Пусть S—площадь луночки, S1, S2, S3, S4, —площади соответственно меньшего полукруга, сегмента АС, четверти большего круга, треугольника ОАС. Найдем

S=S1-S2, S2=S3—S4,

поэтому

S= πr2/4- (πr2/4-S4) =S4.

Итак, S=r2/2. Это значит — луночка квадрируема.

Гиппократ получил три квадрируемые луночки. Д. Бернулли в «Математических упражнениях» указал условие, которому должны удовлетворять алгебраически квадрируемые луночки, и привел уравнение, дающее четвертую квадрируемую луночку.

Однако луночки Гиппократа задачу о квадратуре круга вперед к решению не продвинули: в 30—40-х годах XX в. И. Г. Чеботаревым и А. В. Дородновьш доказано, что существует пять видов квадрируемых луночек, но они не квадрируемы вместе с кругом.