Вторая часть «Математических упражнений», посвященная вопросам механики, по объему составляет почти половину книги.
В 1725 г. Д. Бернулли вместе с И. Бернулли получил первую премию на объявленном Парижской академией наук первом конкурсе на тему «О средствах сохранять равномерность водяных или песочных часов на море». Считается, что этот успех исследования по прикладной механике определил постоянный интерес Д. Бернулли к практическим задачам. И 5 июля 1725 г. был подписан контракт, по которому Д. Бернулли предоставлялось место профессора физиологии Петербургской академии наук с жалованьем 800 рублей в год; 27 октября 1725 г. он вместе с братом Николаем II Бернулли, получившим профессуру по кафедре математики с окладом 1000 рублей (самым высоким из всех платившихся академикам—составлял 4% от суммы, отпущенной Петром I на организацию академии), прибыл в Петербург. В духе механистических воззрений XVII—XVIII вв. Д. Бернулли на кафедре анатомии и физиологии намеревался с помощью механикоматиматических методов изучать тайны живой природы. Он хотел открыть «новую эпоху в физиологии» (из письма Гольдбаху от 17 июня 1730 г.). Произошло же совсем иное: открытия Д. Бернулли легли в основу гидродинамики, гидравлики, физиологии; они применяются в геологии, при исследовании динамики звёзд, в других областях точного естествознания.
Уже упоминалось, что 4 декабря 1725 г. на собрании академиков Д. Бернулли сделал сообщение «Возражение Питкарну против его теории о выделении соков в теле животного». На эту же тему через две недели он сделал второй доклад. Впоследствии тематика исследований Д. Бернулли изменилась: он стал изучать движение мышц человека и животных.
В связи с этим встали чисто механические задачи, определившие сообщения Д. Бернулли: «О сложении и разложении сил» (1 февраля 1726 г.), «Геометрические доказательства к рассуждению о сложении сил» (14 июня 1726 г.) и первые публикации в первом томе «Комментариев» Петербургской академии наук (1728) — «Исследование принципов механики и геометрические доказательства относительно сложения и разложения сил», «Опыт новой теории движения мускулов». В этих работах Д. Бернулли развивал идеи, изложенные И. Бернулли в диссертации «О движении мускулов».
Смерть Николая Бернулли омрачила первые годы жизни Д. Бернулли в Петербурге. На заседании Академии наук 1 августа 1726 г. императрица Екатерина I выразила Д. Бернулли свое соболезнование.
Вскоре умерла Екатерина I; пришедший на престол Петр II переехал в Москву, куда отправился и президент академии Блюментрост. Фактическим руководителем академии стал бывший библиотекарь Петра I И. Д. Шумахер, и это не благоприятствовало работе академии.
По инициативе и настоянию Д. Бернулли в 1727 г. в Петербург был приглашен великий Л. Эйлер. Он занял место адъюнкта на кафедре анатомии и физиологии и подготовил трактат «Основы движения крови по артериям». Но интересы Эйлера лежали в другом русле: его занимало как развитие самой математики, так и применения ее к механике, физике, астрономии, и в 1731 г. он перешел на кафедру физики, в 1733 г.—на кафедру математики.
По распоряжению президента Академии наук Блюментроста каждый профессор обязан был написать какой-либо трактат.
В 1732 г. Бернулли опубликовал работу «Замечания о рекуррентных последовательностях», где изложил метод решения алгебраических уравнений, не нуждающийся в предварительном определении границ, между которыми лежат положительные и отрицательные корни.
Слово рекуррентный означает возвратный. Рекуррентными формулами в математике называются такие, в которых какая-либо последующая величина вычисляется через предыдущие. Таковы же и последовательности. Именно: последовательность называется рекуррентной, если ее n-й член выражается через некоторые предыдущие линейно: an=a1an-1+aan-2+…+akan-k. К рекуррентным последовательностям относятся, например, известные геометрическая и арифметическая прогрессии, для которых an =an-1q, an=an-1q+d, где q — знаменатель геометрической прогрессии, d — разность арифметической. Могут быть и рекуррентные степенные ряды, т. е. ряды, коэффициенты которых образуют рекуррентные последовательности. Такие ряды рассматривал до Д. Бернулли А. Муавр в «Philosophical Transactions» за 1722 г. А. Муавр пришел к ним при решении одной вероятностной задачи.
Д. Бернулли предложил свой метод решения уравнений без обоснования, которое дано было впоследствии Л. Эйлером. Рассмотрим уравнение
a0xn +a1xn-1+a2xn-2+…+an=0 (1)
и предположим, что оно имеет действительные различные корни x1, x2,…, xn. Составим конечно-разностное уравнение
a0yn+i+a1yn+i+…+anyi=0 (i = 0, 1, 2,…), (2)
в которое войдут коэффициенты аk (k=0; 1; 2;...) уравнения (1). Уравнение (2) представляет собой рекуррентное соотношение для последовательности
y0,y1,y2,…уi,…. (3)
Эта последовательность определяет решение конечноразностного уравнения (2). Для нахождения решения у1 нужно задать п начальных значений y0, y1,..., yn-1;
остальные уn, yn+1,…можно определить из уравнения (2).
В теории конечных разностей доказывается, что если корни x1, x2,…,xn уравнения (1) различны, то решения, конечно-разностного уравнения (2) имеют вид
yi=C1x1i+C2x2i+…+Cnxni (i=0, 1, 2,…), (4)
где C1, С2,…, Сn — произвольные постоянные, которые можно определить из начальных условий:
y0=C1+C2+...+Cn, (5)
y1=C1x1+C2x2+…+Cnxn,
yn-1=C1x1n-1C2x2n-2+…+Cnxnn-1.
Докажем теорему: если алгебраическое уравнение (1) имеет единственный наибольший по модулю корень x1, то отношение двух последовательных членов yi+1 и y1, решения конечно-разностного, уравнения (2) стремится при i®¥ к пределу, равному x1
yi+1
lim ——— = x1.
i®¥ yi
Предположим, что |x1|>|x2|≥…≥|xn|. Если корни хk (k=1, 2,..., n) различны, то из (4) получим
yi=x1i[C1+C2(x2/x1)i+…+Cn(xn/x1)i],
yi+1=x1i+1[C1+C2(x2/x1)i+1+…+Cn(xn/x1)i+1],
Найдемтеперь
yi+1/yi=x1 (C1+C2(x2/x1)i+…+Cn(xn/x1)i)/( C1+C2(x2/x1)i+1+…+Cn(xn/x1)i+1)
Пусть С=0. Перейдем в последнем равенстве к пределу при i®¥ и учтем, что (x2/x1)i→0; (х3 /х2)i→0;…;(x4/x1)i→0. Получим то, что и требовалось доказать.
Может быть так, что C1=0, но С2≠0. Тогда указанный предел будет равен другому, наибольшему по абсолютной величине, корню уравнения.
В случае, когда отношение yi+1/yi, колеблется и не стремится к определенному пределу, предполагается, что у уравнения есть наибольшие по модулю комплексные корни.
Сделаем в уравнении замену x=1/z. После этого по методу Бернулли найдется наименьший по модулю отличный от нуля корень.
Реализация метода Бернулли производится так. Сначала задаются произвольные числа y0; y1,...,yn-1, затем по формуле
yn+1=-(anyi+an-1yi-1+…+a1yn+i-1)/a0 (i=0, 1, 2, …)
находятся числа уn, yn+1, yn+2,... и отношения yn/yn-1, yn+1/yn,… Если отношение yn+1/ yn+i-1 при возрастании i стремится к некоторому числу, то его принимают за наибольший по модулю корень уравнения (1). Если же отношение с ростом i к пределу не стремится, то уравнение может иметь несколько наибольших по модулю корней или же это будет свидетельством того, что для выбранных y0, y1,… значение C1=0.
Начальные значения y0, y1,…, yn-1 выбираются произвольно; обычно полагают y0=y1=…=yn-2=0,
yn-1=1. Метод Бернулли применяют также для нахождения комплексных корней уравнения (1).
В публикации 1738 г. Д. Бернулли распространил метод рекуррентных последовательностей на случай рядов.
Как вдруг появились ряды? Дифференциальное и интегральное исчисления возникли в связи с необходимостью решать конкретные механические и геометрические задачи, не поддававшиеся средневековой и античной математике. А ряды? Они на первый взгляд кажутся крайне искусственными. Но это глубокое заблуждение. Ряды возникли одновременно с дифференциальным и интегральным исчислениями, и теория их строилась Ньютоном, Лейбницем, представителями семьи Бернулли и последующими математиками. И при изучении их деятельности рельефно выступают ее проблематика и методология.
С рядами дело обстояло так же естественно, как и с другими важнейшими разделами математики, получившими бурное развитие в XVIII в.: они применялись там, где другие средства исследования отказывали. Степенные ряды давали возможность приближенно решать уравнения, вычислять значения функций, вычислять интегралы, не выражающиеся через конечное число элементарных функций, решать дифференциальные уравнения, не интегрируемые в конечном виде.
В 1732 г. Парижской академией был объявлен конкурс с удвоенной премией на тему «О взаимном наклонении планет». Премию получили Д. и И. Бернулли. Премированы также сочинения Д. Бернулли: «О лучшем способе устройства якорей» (1738), «О морском приливе и отливе» (1740), «О наилучшем способе устройства магнитных стрелок наклонения» (1743), «О лучшем способе определения времени в море» (1745-1746), «Теория магнита» (1742, 1744, 1746), «О теории течений и о лучшем способе их наблюдать» (1751 удвоенная премия), «О наиболее выгодном способе замены действия ветра на больших судах» (1753), «О наилучшем способе уменьшения боковой и килевой качки судна» (1757).
У семьи Бернулли есть также много других открытий в области высшей математики и физики. Вот несколько примеров таких открытий:
БЕРНУЛЛИ СХЕМА (назв. по имени Я. Бернулли), одна из основных математических моделей для описания независимых повторений опытов, используемых в теории вероятностей. Бернулли схема предполагает, что имеется некоторый опыт Х и связанное с ним случайное событие А (типичный пример: S— бросание монеты, А – выпадение герба). Производят n независимых повторений S. При каждом осуществлении S событие А может наступить с вероятностью р (здесь р=1/2), или наступить неудача с вероятностью g=1-p. Таким образом схема Бернулли определяется двумя параметрами: п и р.
БЕРНУЛЛИ ТЕОРЕМА, одна из важнейших теорем теории вероятностей; является простейшим случаем т. н. закона больших чисел. Бернулли теорема была впервые опубликована в труде Я. Бернулли «Искусство предположений», изданном в 1713. Первые ее доказательства требовали сложных математических средств, лишь в сер. 19 в. П. Л. Чебышев нашёл необычайно изящное и краткое её доказательство. Точная формулировка теоремы Бернулли такова: если при каждом из п независимых испытаний вероятность некоторого события равна р, то вероятность того, что частота т/п появления события удовлетворяет неравенству |т/п—р|<ε (ε—произвольно малое положительное число), становится сколь угодно близкой к единице при достаточно большом числе п испытаний. Из доказательства Чебышева вытекает простая количественная оценка этой вероятности: