Дуальные числа (стр. 2 из 2)

Если F - функция дуальной переменной x и дуальных параметров A, B, C, ..., то функцию G от тех же величин, тождественно удовлетворяющую уравнению

назовем интегралом от Fdx и обозначим так:

Отсюда следует, что

Таким образом, в области дуальных чисел сохраняются все теоремы дифференциального и интегрального исчислений. Приведем основные соотношения для элементарных функций:

Оператор дифференцирования в области дуальных чисел.

Обратим внимание на форму классического определения производной функции:

Здесь d/dx - обозначено специальное математическое понятие - функциональный оператор, или отображение одной функции (из области определения оператора) на другую (из области значений оператора).

Зададимся вопросом - можно ли составить аналогичный оператор для функций дуального переменного? Распишем выражение для производной покомпонентно:

Сопоставив с уравнениями Коши-Римана, получим равенство:

Таким образом, составной оператор дифференцирования функции дуального переменного имеет вид:

Как и следовало ожидать, подтверждается тот факт, что функция дуального переменного полностью определяется функцией от главной части переменной:

что в силу условий Коши-Римана равно:

Отметим, что в отличие от комплексных и паракомплексных чисел, гиперкомплексный оператор дифференцирования в области дуальных чисел не получает множителя 1/2 перед своими компонентами. В области комплексных чисел гиперкомплексный оператор дифференцирования имеет вид:

В области паракомплексных чисел гиперкомплексный оператор дифференцирования имеет вид:

Этот факт объясняется тем, что для составления полного оператора дифференцирования следует использовать различные виды дифференцирования - как по переменной, так и по сопряженной переменной. В случае же дуальных чисел сопряженные числа различаются с числами только с точки зрения алгебраических операций. Операция же дифференцирования в области функций дуальных чисел такого сопряжения не различает, поскольку, повторимся еще раз, функция дуального переменного полностью определяется функцией от главной части переменной.

Список литературы

Ф. Диментберг, Винтовое исчисление, М., 1968

А. Золоторев, Дуальные числа, Л., 1989

Р. Рейнсберг, Квадратичные пространства над алгеброй дуальных чисел., М., 1975