| МОРОЗОВ | ZET 5.10 | |
| Солнце | 19 гр. Рака | 18 гр. 12' Рака |
| Луна | 15 гр. Девы | 12 гр. 29' Девы |
| Меркурий | 0 гр. 12' Рака | 28 гр. 19' Близнецов |
| Венера | 3 гр. Девы | 0 гр. 32' Девы |
| Марс | 24 гр. Рака | 24 гр. 3' Рака |
| Юпитер | 12 гр. Льва | 11 гр. 51' Льва |
| Сатурн | 8 гр. Весов | 7 гр. 23' Весов |
Вычислим предыдущие аспекты уже по ZET 5.10:
ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИСейчас мы начнём искать квазипериоды повторения аспектов внешних планет, Луны и Солнца. Орбы аспектов не станем фиксировать заранее. Предполагаем, что Земля и внешние планеты, до Сатурна, двигаются равномерно вокруг Солнца по круговым орбитам, а Луна движется равномерно по круговой орбите вокруг Земли. Тогда в геоцентрической системе, принятой в астрологии, внешние планеты и Луна приобретают синодические периоды обращения (периоды соединения с Солнцем). Пусть Tл, Tм, Tю, Tс такие периоды Луны, Марса, Юпитера и Сатурна, соответственно, измеренные в днях на один оборот. Мы ищем "Общее кратное" этих чисел D, то есть, число дней, в которые все T* укладываются целое число раз с небольшой погрешностью, зависящей от орба E, который измерен в долях круга. Таким образом, D/T* отличаются от ближайшего к ним целого числа менее, чем на E. Что записывается в виде системы двойных неравенств: -E < D/Tл - Nл < E-E < D/Tм - Nм < E -E < D/Tю - Nю < E -E < D/Tс - Nс < E N* - являются неизвестными натуральными числами, орб E выбираем таким, каким считаем нужным. D может быть и дробным, но можно ограничиться (увеличивая при необходимости орб) только натуральными значениями. Будем считать, что D изменяется в диапазоне от 1 до 2000x365,25 дней, поскольку на интервале времени более 2 тысяч лет начинают значительную роль играть погрешности округления величин T*. В настоящий момент неизвестно - каковыми значениями синодических периодов пользовались астрологи и астрономы 16 века. Но мы видим, что система неравенств даёт решения непрерывно зависящие от T*, если E взято достаточно большим. Поэтому можно решить эту систему исходя из современных данных, надеясь, что полученные таким образом решения будут близки к тем, которые можно было бы получить в 16 веке, и в будущем, при получении необходимой информации, перерешать систему аналогичным образом. Согласно http://www.solarviews.com/eng сидерические (звёздные) периоды обращения таковы (в днях на круг): |
| Меркурий | 87,969 |
| Венера | 224,701 |
| Земля | 365,256 |
| Луна | 27,32166 |
| Марс | 686,98 |
| Юпитер | 4332,71 |
| Сатурн | 10759,50 |
Считая последнюю цифру результатом округления, обращением соответствующей величины получим сидерические средние скорости (в кругах на день):
| Земля | 0,002737806 +/- 4x10^{-9} |
| Луна | 0,036600997 +/- 7x10^{-9} |
| Марс | 0,001455646 +/- 11x10^{-9} |
| Юпитер | 0,00023080243 +/- 27x10^{-11} |
| Сатурн | 0,00009294112 +/- 5x10^{-11} |
Вычитая из звёздных скоростей планет скорость Земли получим средние угловые синодические скорости планет (в оборотах на день):
| Луна | +0,033863191 +/- 12x10^{-9} |
| Марс | -0,001283210 +/- 15x10^{-9} |
| Юпитер | -0,002507004 +/- 5x10^{-9} |
| Сатурн | -0,002644865 +/- 5x10^{-9} |
Луна геоцентрически обгоняет Солнце, поэтому её скорость положительна, прочие планеты, наоборот, отстают, и поэтому их скорости получились отрицательными, что для нашей проблемы несущественно. Обращая полученные величины, найдём синодические периоды обращения планет (в днях на оборот):
| Луна | 29,53059 +/- 2x10^{-5} |
| Марс | 779,933 +/- 9x10^{-3} |
| Юпитер | 398,8825 +/- 9x10^{-4} |
| Сатурн | 378,0911 +/- 7x10^{-4} |
Предыдущую систему неравенств можно записать через средние угловые скорости, где V*=1/T*:
-E < D*Vл - Nл < E
-E < D*Vм - Nм < E
-E < D*Vю - Nю < E
-E < D*Vс - Nс < E
Величина D, которую мы ищем, ограничена 2 тысячами лет в днях, - посмотрим какие погрешности мы можем получить, если пренебрежём поправками к скоростям:
15x10^{-9}x360x2000x365,25 = 3,9447 градусов
Таким образом, в орбе надо учитывать дополнительные 4 градуса на ошибку округления. А скорости можно взять таковыми (в оборотах на день):
Vм = 0,001283210 (Марс)
Vю = 0,002507004 (Юпитер)
Vс = 0,002644865 (Сатурн)
Vл = 0,033863191 (Луна)
Ясно, что в 16 веке эту систему неравенств нельзя было решить перебором натуральных D, как мы можем себе позволить сделать это с помощью компьютера, и вряд ли можно было сделать это с помощью итерационных методов (как я решал её сначала). Но если мы вспомним снова - что же мы ищем? Окажется, что у математиков 16 века был инструмент для нахождения "Общих Кратных" и "Общих Делителей" - алгоритм Евклида, опирающийся на операцию деления с остатком. Считается, что этот алгоритм придуман для решения абстрактных арифметических задач, но я полагаю, что создан он для решения именно таких проблем, которые мы разбираем. В следующей главе мы рассмотрим пример такого применения.
Сначала я напомню операцию деления с остатком одного числа A (делимого) на другое B (делитель), делитель должен быть отличным от нуля, и удобнее, чтобы он был положительным. При этих условиях существуют единственные числа Z - целое (неполное частное) и R (остаток от деления A/B): 0 =< R < |B| такие, что A = B*Z + R
Если A и B - целые, таково же и R, если B положительно, Z = [A/B] - целой части числа A/B. Можно и иногда удобно делить с остатком усовершенствованным способом, выбирая остаток в диапазоне от -|B|/2 до |B|/2, и тогда Z будет целым числом, ближайшим к A/B.
Деление с остатком - это шаг алгоритма Евклида нахождения "Наибольшего Общего Делителя" (НОД) двух чисел. Суть его в следующем (A и B не должны быть нулевыми одновременно):
1) Пусть B - ненулевое, тогда делим A на B с остатком: A = B*Z1 + R1, 0 =< R1 < |B|, если R1 = 0, тогда по определению НОД(A,B) = |B|, иначе
2) Делим B на R1 с остатком: B = R1*Z2 + R2, 0 =< R2 < R1 < |B|, если R2 = 0, доказывается, что тогда НОД(A,B) = R1, иначе
3) Делим R1 на R2 с остатком: R1 = R2*Z3 + R3, 0 =< R3 < R2 < R1 < |B|,
если R3 = 0, доказывается, что тогда НОД(A,B) = R2, иначе продолжаем аналогично. Если R{i+1} - ненулевой, мы делим на него с остатком предыдущий остаток:
i+2) Ri = R{i+1}*Z{i+2} + R{i+2}, 0 =< R{i+2} <...< R1 < |B|,
Остатки убывают к нулю, а если A и B - целые, остаток обнуляется на некотором шаге:
k+1) R{k-1} = Rk*Z{k+1} + 0, где Rk - ненулевой
Оказывается, что в этом случае НОД(A,B) = Rk (То есть, Rk наибольшее число из таких, что A/Rk и B/Rk - целые). Если A и B - рациональные числа, алгоритм Евклида так же заканчивается за конечное число шагов, давая НОД. Например, найдём НОД(1/4, 1/6):
1. 1/4 = (1/6)*1 + 1/12;
2. 1/6 = (1/12)*2 + 0.
НОД(1/4, 1/6) = 1/12: 1/4 = (1/12)*3, 1/6 = (1/12)*2.
Если же A/B иррационально, алгоритм Еклида продолжается бесконечно, а положительные остатки убывают к нулю положительные остатки от деления A на B. В качестве НОД'а в этом случае можно выбрать любой из них, задаваясь необходимой погрешностью. Это применяется в следующей теории - шаги алгоритма Евклида можно записать в виде "непрерывной" или "цепной" дроби представляющей A/B:
A/B = Z1 + R1/B = Z1 + 1/(B/R1) = Z1 + 1/(Z2 + R2/R1) = = Z1 + 1/(Z2 + 1/(Z3 + R3/R2)) = ... = Z1 + 1/(Z2 + 1/(Z3 + 1/(Z4 + ...))) =: [Z1,Z2,Z3,Z4,...]
Если какой-то остаток Rk = 0, тогда цепная дробь заканчивается k "этажами" и получим A/B = [Z1,Z2,Z3,...,Zk] = Lk/Nk - рациональное число, после упрощения. Если же Rk - ненулевое, тогда [Z1,Z2,Z3,...,Zk] = Lk/Nk называется k-ой подходящей дробью для A/B - она наиболее близка к A/B среди всех дробей со знаменателем не большим Nk. То есть, A/B примерно равно Lk/Nk, причём:
A*Nk - B*Lk = (-1)^{k-1}Rk, |A/B - Lk/Nk| = Rk/(B*Nk) - весьма мало,
поскольку Rk убывают, а Nk - растут. В предыдущем примере:
(1/4)/(1/6) = [1,2] = 1 + 1/2 = 3/2