Интеграл по комплексной переменной (стр. 2 из 4)
Разложение функции комплексного переменного в ряды.
Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными (до n-го порядка ), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора :
Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная вместе с производными до n-го порядка, то:
(2) – разложение в ряд Тейлора.Формула (2) записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z0 |<R, где R – радиус сходимости ряда (2).
Функция f (z), которая может быть представлена в виде ряда (2) является аналитической функцией. Неаналитическая функция в ряд Тейлора не раскладывается.
(3) 
(4) 
(5)Причем | Z | < R, R ® ¥ .
Формулы ЭЙЛЕРА.
Применим разложение (3) положив, что Z = ix и Z= - ix;
(6)Аналогично взяв Z = - ix получим :
(7)Из (6) и (7) можно выразить т.н. формулы Эйлера :
(8)В общем случае :
(9)Известно, что :
(10)Тогда из (9) и (10) вытекает связь между тригонометрическими и гиперболическими косинусами и синусами:
Ряд ЛОРАНА.
Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд другим путем.
ТЕОРЕМА 1.
Однозначная функция f(Z) аналитическая в круге радиусом |Z-Z0| < R раскладывается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням Z-Z0.
Опишем в круге радиусом R окружность r, принадлежащую кругу с радиусом R.
Возьмем в круге радиуса r точку Z, а на границе области точку z , тогда f(z) будет аналитична внутри круга с радиусом r и на его границе. Выполняется условие для существования интеграла Коши :
(13) 
(11)Поскольку
, то выражение 
можно представить как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 
, т.е. : 
(12)Представим равномерно сходящимся рядом в круге радиуса r, умножая (12) на 1/(2pi) и интегрируя по L при фиксированном Z, получим : слева интеграл (13) который равен f (Z), а справа будет сумма интегралов :
Обозначая
, получим : 
(14)Это разложение функции f (Z) в круге R в ряд Тейлора. Сравнивая (14) с рядом (2) находим, что
(15)ТЕОРЕМА 2.
Если однозначная функция f(Z) аналитична вне круга с радиусом r с центром в точке Z0 для всех Z выполняется неравенство r < |Z-Z0 |, то она представляется рядом :
(16)где h - ориентированная против часовой стрелки окружность радиуса r (сколь угодно большое число). Если обозначить
(17) , получим : 
(18)ТЕОРЕМА 3.
Если однозначная функция f(Z) аналитическая в кольце Z< |Z-Z0 |<R, где 0£ Z<R<¥ , то она раскладывается в сходящийся степенной ряд :
(19)f1 и f2 можно представить в виде двух рядов :
(20) 
(21)Ряд (19) – ряд Лорана, при этом ряд (20) сходится в круге радиуса R, ряд (21) сходится вне круга радиуса R функции f2(Z). Общая область сходимости ряда – кольцо между r и R.
f1(Z) – правильная часть.
f2(Z) – главная часть ряда Лорана.
Ряд Тейлора – частный случай ряда Лорана при отсутствии главной его части.
Классификация изолированных особых точек. Вычеты.
Определение 1. Особой точкой функции f(Z) определенной в области (замкнутой) G, ограниченной Жордановой кривой, называется точка Z=Z0 Î G в которой аналитичность функции f1(Z) нарушается. Рабочая точка Z=Z0 функции f(Z), ограниченной в круге |Z-Z0|<R называется изолированной, если функция f(Z) в каждой точке этого круга аналитична, кроме самой точки Z=Z0. В зависимости от поведения функции f(Z) в окрестности изолированных особых точек последние классифицируются на :
1) Устранимые особые точки. Ими называются особые точки, для которых существует
, где А – конечное число.2) Если для особой точки существует предел
, то такая особая точка называется полюсом.3) Если
не существует, то точка Z=Z0 называется существенной особой точкой.Если С-n=0, то особая точка есть устранимая особая точка.
Пусть f(Z0)=C0 и C-n для всех n=1,2,3,..,m отличного от 0, а для всех n ® m+1 C-n=0, тогда Z=Z0 будет являться полюсом порядка m.
При m>1 такой полюс будет называться простым.
, если m ® ¥ , то в этом случае в точке Z=Z0 имеем существенную особенность.Определение 2. Вычетом функции f(Z) в круге |Z-Z0|<R, ограничивающем изолированную особую точку Z=Z0 называется интеграл :
, где L – ориентированный против часовой стрелки контур целиком расположенный в круге радиуса R, содержащем Z0. Вычет существует только для изолированных особых точек. Очевидно, что вычет функции f(z) при Z=Z0 равен первому коэффициенту ряда главной части Лорана : 
Если полюс имеет кратность m ³ 1, то для определения вычетов используется формула :
(3)при m=1 :
Основная теорема о вычетах.
Пусть f(z) аналитическая в области G кроме конечного числа полюсов Z = a1, a2, …, ak. g –произвольный, кусочно-гладкий замкнутый контур содержащий внутри себя эти точки и целиком лежащий внутри области G. В этом случае интеграл
равен сумме вычетов относительно a1, a2, …, ak и т.д. умноженный на 2pi : 
(5)Пример :
Найти вычет
Особые точки : Z1=1, Z2= - 3.
Определим порядок полюсов – все полюсы первого порядка.
Используем формулу (3) :
Интегральные преобразования.
Операционное исчисление и некоторые его приложения.
Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :
1)
2) Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).
3) Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0³0 такие, что выполняется условие : |f(t)|<Me S0t
Рассмотрим функцию f(t)×e-pt , где р – комплексное число р = ( а + i b).
(1)Применим к этому соотношению формулу Эйлера :
Проинтегрировав это равенство получим :
(2)Оценим левую часть равенства (2) :