Этап I
1 Постановка задачи
Дана основная (рис. 1.1а) и резервная (рис. 1.1б) схемы. Рассмотреть два способа повышение надежности основной схемы до уровня 0.95
а) б)
Рис. 1.1
Первый способ
- каждому элементу основной схемы подключаются параллельно по N резервных элементов имеющих надежность в два раза меньше, чем надежность элемента к которому подключают.
Второй способ
- подключить к основной схеме параллельно по N резервной схеме.
№ элемента | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Надежность | 0.6 | 0.6 | 0.6 | 0.3 | 0.7 | 0.4 | 0.3 | 0.5 | 0.1 |
Надеж.(резер.) | 0.3 | 0.3 | 0.3 | 0.15 | 0.35 |
2 Теоретическая часть
Ввиду важности операций сложения и умножения над событиями дадим их определение:
Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих событий вместе.
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из этих событий.
Произведением двух событий А и В называется событие D, состоящее в совместном выполнении события А и события В.
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном выполнении всех этих событий.
А к с и о м ы т е о р и и в е р о я т н о с т е й :
1. Вероятность любого события находится в пределах:
.2. Если А и В несовместные события
, то3. Если имеется счетное множество несовместных событийА1, А2, ... Аn, ...
при , тоСледствие: сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице, т.е. если
; прито
.Сумма вероятностей противоположных событий ровна единице:
Правило умножения вероятностей: вероятность произведения (пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого
.Для независимых событий правило умножения принимает вид:
, илиОсновываясь на теорию выведем некоторые формулы для решения поставленной задачи.
Схема состоит из нескольких n блоков (рис. 2.1), каждый из которых (независимо от других) может выйти из строя. Надежность каждого блока равна p. Безотказная работа всех без исключения блоков необходима для безотказной работы в целом. Найти вероятность безотказной работы всей схемы.
Рис. 2.1
Событие A={безотказная работа прибора} есть произведение n независимых событий А1, А2, ... Аn, где Ai={безотказная работа i -го блока}. По правилу умножения для независимых событий имеем
.Схема состоит из 2 блоков (рис. 2.2), каждый из которых (независимо от друг от друга) может выйти из строя. Надежность каждого блока равна p. Найти вероятность безотказной работы всей системы.
Рис. 2.2
От события В={система будет работать} перейдем к противоположному:
={система не будет работать}. Для того чтобы система не работала, нужно, чтобы отказали оба блока. Событие есть произведение двух событий: ={блок 1 отказал}x{блок 2 отказал}.По правилу умножения для независимых событий:
3 Практическая часть
Воспользовавшись выше изложенными формулами рассчитаем надежность основной схемы (рис. 1а), она составит :
, а также резервной схемы (рис. 1б) :
Рассмотрим первый способ подключения (смотри рис. 3.1), когда подключаем по N элементов до тех пор, пока
Рис. 3.1
Тогда формула вероятности для схемы на рис. 2 будет выглядеть так :
, где
, , , , .Увеличивая N дополнительных элементов пошагово добиваемся значения
:Шаг первый, при N=1
< 0.95Шаг второй, при N=2
< 0.95Шаг третий, при N=3
< 0.95Шаг четвертый, при N=4
< 0.95Шаг пятый, при N=5
> 0.95Из рассмотренных вычислений можно заключить, что для достижения заданной вероятности 0.95 необходимо пяти добавочных элементов.
Рассмотрим второй способ подключения к основной резервной схемы (рис. 3) и найдем число N подключений при котором достигается заданная вероятность
.Рис. 3.2
Формула по которой будет вычисляться вероятность схемы на рис. 3 выглядит так :
, где
, а
- смотри выше.Увеличивая N дополнительных резервных схем пошагово добиваемся значения
:При N=1 :
< 0.95При N=2 :
< 0.95При N=3 :
< 0.95При N=4 :
< 0.95При N=5 :
< 0.95При N=6 :
> 0.95