Некоторые главы мат. анализа (стр. 6 из 7)

Из рассмотренных вычислений можно заключить, что для достижения заданной вероятности 0.95 необходимо шесть резервных схем.

Этап II

1 Постановка задачи

- найти неизвестную константу функции f(x);

- выписать функцию распределения, построить их графики;

- найти математическое ожидание и дисперсию;

- найти вероятность попадания в интервал (1;4).

2 Теоретическая часть

Под случайной величиной понимается величина, которая в результате измерения (опыта) со случайным исходом принимает то или иное значение.

Функция распределения случайной величины Х называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем заданное х:

Основные свойства функции распределения:

1) F(x) - неубывающая функция своего аргумента, при

Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х в точке х называется производная ее функции распределения в этой точке. Обозначим ее f(x) :

Выразим функцию распределения F(x) через плотность распределения f(x):

Основные свойства плотности распределения f(x):

1. Плотность распределения - неотрицательная функция

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единицы:

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений.

Перейдем от дискретной случайной величины Х к непрерывной с плотностью f(x).

Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины:

Для непосредственного вычисления дисперсии непрерывной случайной величины служит формула:

3 Практическая часть

Для нахождения неизвестной константы c применим выше описанное свойство:

, откуда

, или

Найдем функцию распределения основываясь на теоретической части:

- на интервале

Теперь построим график функций f(x)- плотности распределения (рис. 2.1 - кривая распределения) и F(x)- функции распределения (рис. 2.2)

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Следуя постановке задачи найдем математическое ожидание

и дисперсию

для случайной величины X :

Производя еще одну замену

приходим к первоначальной формуле из чего можно сделать вывод, что математическое ожидание с.в. Х равно :

Также находим дисперсию :

И последнее, вероятность попадания в интервал (1;4) находим как :

Этап III

1 Постановка задачи

Дана случайная выборка объема n=100 :

104.6	95.2	82.0	107.7	116.8	80.0	100.8	124.6	99.4	101.4
100.6	86.3	88.2	103.8	98.5	111.8	83.4	94.7	113.6	74.7
114.3	86.9	106.6	94.9	105.9	88.6	96.6	93.7	90.8	96.5
110.2	100.0	95.6	102.9	91.1	103.6	94.8	112.8	100.1	95.3
113.9	113.9	86.1	110.3	88.4	97.7	70.1	100.5	90.9	94.5
109.1	82.2	101.9	86.7	97.4	102.1	87.2	94.71	112.4	94.9
111.8	99.0	101.6	97.2	96.5	102.7	98.6	100.0	86.2	89.4
85.0	86.6	122.7	101.8	118.3	106.1	91.3	98.4	90.4	95.1
93.1	110.4	100.4	86.5	105.4	96.9	101.9	83.8	107.3	107.5
113.7	102.8	88.7	112.5	79.4	79.1	98.1	103.8	107.2	102.3

2 Теоретическая часть

Под случайной выборкой объема n понимают совокупность случайных величин

, не зависимых между собой. Случайная выборка есть математическая модель проводимых в одинаковых условиях независимых измерений.

Упорядоченной статистической совокупностью будем называть случайную выборку величины в которой расположены в порядке возрастания

Размах выборки есть величина r=X_n-X₁, где X_n - max , X₁ - min элементы выборки.

Группированным статистическим рядом называется интервалы с соответствующими им частотами на которые разбивается упорядоченная выборка, причем ширина интервала находится как :

тогда частота попадания в отрезок

находим по формуле :

, где V_i - число величин попавших в отрезок

, причем

. Поделив каждую частоту на

получим высоту для построения гистограммы.

Построив гистограмму мы получили аналог кривой распределения по которой можем выдвинуть гипотезу о законе распределения. Выровнять статистическое распределение с помощью закона о котором выдвинули гипотезу, для этого нужно статист. среднее m_x^* и статистическую дисперсию D_x^* .

Которые находим как

Естественной оценкой для мат. ожидания является среднее арифметическое значение :

Посмотрим, является ли эта оценка не смещенной , для этого найдем ее мате-матическое ожидание :

то есть оценка

для m является несмещенной.

Найдем дисперсию этой оценки :

Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения случайной величины X .Если распределение нормально, то оценка

для мат. ожидания m является и эффективной.

Перейдем к оценке для дисперсии D. На первый взгляд наиболее естественной представляется статистическая дисперсия D^*, то есть среднее арифметическое квадратов отклонений значений X_i от среднего :