Смекни!
smekni.com

Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)

Формулы сокращенного умножения

(а ± в)2 = а2± 2ав + в2

(а ± в)3 = а3± 3а2в + 3ав2± в3

а2- в2 = (а + в) (а - в)

а3 + в3 = (а + в) (а2- ав + в2)

а3- в3 = (а - в) (а2 + ав + в2)

(а + в + с)2 = а2 + в2 + с2 +2ав +2ас +2вс

Степени.

ам ан = ам + н

ам: ан = ам - н

(ав)м = ам вм

м)н = амн

(а : в)м = ам: вм

а- м = 1 : ам

ам : н = нÖ ам

Корни.

нÖав =нÖа нÖв

нÖа мÖв = н мÖам вн

нÖа : в = нÖа :нÖв

(нÖам)х = нÖам х

нÖам = ам/н

мÖнÖа = мнÖа

(нÖа)м = нÖам

Арифметическая прогрессия.

а1, а2, а3, …, аn-1, аn

аn-1 - аn= d

d – разность прогрессии

а2 = а1+ d

а3 = а2 + d = а1 + 2d

аn= а1 + d(n-1)

Sn = (а1 + аn) n = (2а1 + ( n-1) d) n

2 2

Sn – сумма членов арифметической

прогрессии.

d – разность прогрессии.

d > 0 – прогрессия возрастающая

d < 0 – прогрессия убывающая.

Геометрическая прогрессия.

а1, а2, а3, …, аn-1, аn

аn+1 / аn= q

а2 = а1 q

q - знаменатель прогрессии.

а3 = а2 q = а1 q2

аn= а1qn-1

Сумма членов для возрастающей

прогрессии (q > 1)

Sn = аnq - а1 = а1 (qn -1 : q – 1)

q – 1

Сумма членов для убывающей прогрессии (q < 1)

Sn = а1 (1 - qn)

1 - q

Сумма членов бесконечно убывающей

Прогрессии

Sn = а1

1 - q

Вектора.

а = М1М2 ={х2 – х1, у2 – у1, z2 –z1}

Длина вектора

çа ç=Ö(х2 - х1)2 +(у2 - у1)2 + (z2 - z1)2

Умножение вектора на число

a а = d

Скалярное произведение векторов

а в = çа ççв çcosj

cosj = х1х2 + у1у2 + z1z2

Öх12 + у12 +z12Öх2222 + z22

а2 = çа ç2

а в = х1х2 + у1у2 + z1z2

Параллельность векторов

а ççв, то х1 = у1 = z1

х2у2 z2

Перпендикулярность векторов

а ^ в, то х1х2 + у1у2 + z1z2

Производная.

(c u)¢ = с u¢

u ¢ = u¢ v – u v¢

v v2

(c)¢ = 0

(xn )¢ = n xn-1

(ax)¢= ax ln a

х)¢ =ех

(sin x)¢ = cos x

(cos x)¢ = - sin x

(tg x)¢ = 1

cos2 x

(ctg x)¢ = - 1

sin2 x

(ln x)¢ = 1

х

(1 / х)¢ = - 1

х2

(Öх)¢ = 1

2 Öх

(х)¢ = 1

Логарифмы.

logав = с

logа 1 = 0

logа а = 1

logа (mn) = logа m + logа n

logа m = logа m - logа n

n

logа mn = nlogа m

logа nÖm = 1 logа m

n

logав = logсв

logс а

Основные тригонометрические тождества

sin2x + cos2x = 1

tg x = sin x

cos x

ctg x = cos x

sin x

1 + ctg2 x = 1

sin2 x

1 + tg2 x = 1

cos2 x

tg x ctg x = 1

Формулы сложения и вычитания

sin (a±b) = sina cosb± cosa sinb

cos (a±b) = cosa cosb± sina sinb

tg (a±b) = (tga± tgb)

(1 + tga tgb)

ctg (a±b) = ctga ctgb+ 1

ctgb±ctga

sina + sinb = 2 sin (a + b) cos (a-b)

2 2

sina- sinb = 2 cos (a + b) sin (a-b)

2 2

cosa + cosb = 2 cos (a + b) cos (a-b)

2 2

cosa- cosb = - 2 sin (a + b) sin (a-b)

2 2

tga± tgb = sin (a±b)

cosa cosb

ctga± ctgb = sin (b±a)

sina sinb

sin2a- sin2b = cos2b- cos2a =

sin (a + b) sin (a-b)

cos2a- sin2b = cos2b- sin2a =

cos (a + b) cos (a-b)

Связь между тригонометрическими функциями

sina = ±Ö1 - cos2a

sina = tga

±Ö1 + tg2a

sina = 1

±Ö1 + ctg2a

cosa = ±Ö1 - sin2a

cosa = 1

±Ö1 + tg2a

cosa = ctga

±Ö1 + ctg2a

tga = sina

±Ö1 - sin2a

tga = ±Ö1 - cos2a

cosa

tga = 1

ctga

ctga = ±Ö1 - sin2a

sina

ctga = cosa

±Ö1 - cos2a

ctga = 1

tga

Формулы преобразования произведения

sina sinb = cos (a-b) - cos (a + b)

2

cosa cosb = cos (a-b) + cos (a + b)

2

sina cosb = sin (a + b) + sin (a-b)

2

tga tgb = tga + tgb

ctga + ctgb

ctga tgb = ctga + tgb

tga + ctgb

ctga ctgb = ctga + ctgb

tga + tgb

Формулы двойных углов

sin2a = 2 sina cosa

sina = 2 sin (a) cos (a)

cos2a = cos2a- sin2a =

= 1 - 2sin2a =

= 2cos2a- 1

tg2a = 2 tga

1 - tg2a

= 2

ctga- tga

tga = 2 tg (a/2)

1 - tg2 (a/2)

ctg2a = ctg2a- 1

2 ctga

= ctga- tga

2

ctga = ctg2 (a/2) - 1

2 ctg (a/2)

sin x = a

x = (-1)n arksin a + pn

cos x = a

x = ± arkcos a + 2pn

tg x = a

x = arktg a + pn

ctg x = a

x = arkctg a + pn

Формулы приведения

sin (p /2 -a) = + cosa

sin (p /2 + a) = + cosa

sin (p-a) = + sina

sin (p + a) = - sina

sin (3p/2 -a) = - cosa

sin (3p /2 + a) = - cosa

sin (2p-a) = - sina

sin (2p + a) = + sina

----------------

cos (p/2 -a) = + sina

cos (p/2 + a) = - sina

cos (p-a) = - cosa

cos (p + a) = - cosa

cos (3p/2 -a) = - sina

cos (3p/2 + a) = + sina

cos (2p-a) = + cosa

cos (2p + a) = + cosa

-----------------

tg (p/2 -a) = + ctga

tg (p/2 + a) = - ctga

tg (p-a) = - tga

tg (p + a) = + tga

tg (3p/2 -a) = + ctga

tg (3p/2 + a) = - ctga

tg (2p-a) = - tga

tg (2p + a) = + tga

-------------

ctg (p/2 -a) = + tga

ctg (p/2 + a) = - tga

ctg (p-a) = - ctga

ctg (p + a) = + ctga

ctg (3p/2 -a) = + tga

ctg (p/2 + a) = - tga

ctg (2p-a) = - ctga

ctg (2p + a) = + ctga

sin (-a) = - sina

cos (-a) = cosa

tg (-a) = - tga

В прямоугольном треугольнике

a2 + b2 = c2

a = c sina

a = b tga

b = c cosa

теорема синусов:

a = b = c

sina sinb sing

теорема косинусов:

a2 = b2 + c2 - 2 bc cosa

S = ½ ab

Площади фигур

Прямоугольник

S = a b = ½ d1 d2 sina,

d1 и d2 - диагонали

a - угол пересечения диагоналей

Параллелограмм

S = a h = a b sina

S = ½ d1 d2 sina

Трапеция

S = a + b h = ½ d1 d2 sina

2

Круг

S = l r = p r2

2

ТРЕУГОЛЬНИК

S = ½ ah = ½ ab sina

Формула Герона:

S = Ö p (p - a) (p - b) (p - c)

p = a +b + c

2

Площадь треугольника описанного окружностью:

S = a b c

4r

Площадь треугольника с вписанной окружностью:

S = ½ r P

где Р – периметр

радиус описанной окружности:

R = a b c

4S

радиус вписанной окружности:

r = 2S

a + b + c

длина окружности:

l = 2pr

Квадрат

S = a2 = d2/2

Ромб

S = a2 sina = ah = ½ dD

где d - малая диагональ

D - большая диагональ

Объемы тел:

Параллелепипед

V = Sоснh

Куб

V = abc = a3

Призма

V = Sоснh = S^сечl

l - грань призмы

Пирамида

V = 1/3 Sоснh

Цилиндр

V = Sоснh = pr2 h = 1/4pd2h

r - радиус основания

d - диаметр основания

Конус

V = 1/3 Sоснh = 1/3 pr2h

Шар

V = 4/3 pr3

Площади поверхностей

Призма

Sп = Sбок + 2Sосн

Sбок = ph = S^сеч l

p = a + b +c

Куб

Sп = 6a2

Пирамида четырехугольная

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = ½ Pоснh

h – высота боковой грани

Пирамида треугольная

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = Sоснcosj

j - угол наклона грани

Цилиндр

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = 2prh

Sосн = 2pr (h + r)

Конус

Sп = Sбок + Sосн

Sбок = prl

Sосн = pr (l + r)

Параллелепипед

Sп = Sбок + 2Sосн

Sбок = Pоснl

Шар

S = 4 pr2

Значения углов

a 0 p/6 p/4 p/3 p/2 p

sin 0 ½ Ö2/2 Ö3/2 1 0

cos 1 Ö3/2 Ö2/2 ½ 0 -1

tg 0 1/Ö3 1 Ö3 - 0

ctg - Ö3 1 1/Ö3 0 -