Билеты по аналитической геометрии

ЛИНЕЙНАЯЗАВИСИМОСТЬВЕКТОРОВ.

Пустьзадана системавекторов а₁,а₂, а₃,…,а_л(1) одной размерности.

Определение:система векторов(1) называетсялинейно-независимой,если равенство₁а₁+₂а₂+…+_ла_л=0(2) выполняетсялишь в том случае,когда все числа₁,₂,…,_л=0и R

Определение:система векторов(1) называетсялинейно-зависимой,если равенство(2) выполнимохотя бы приодном _i0(i=1,…,k)

Свойства

Еслисистема векторовсодержит нулевойвектор, то оналинейно зависима
Еслисистема векторовсодержитлинейно-зависимуюподсистемувекторов, тоона будетлинейно-зависимой.
Еслисистема векторовлинейно-независима,то и любая ееподсистемабудет линейнонезависимой.
Еслисистема векторовсодержит хотябы один вектор,являющийсялинейной комбинациейдругих векторов,то эта системавекторов будетлинейно зависимой.

Определение:два вектораназываютсяколлинеарными,если они лежатна параллельныхпрямых.

Определение:три вектораназываютсякомпланарными,если они лежатв параллельныхплоскостях.

Теорема:Если заданыдва вектораa и b, причем а0и эти векторыколлинеарны,то найдетсятакое действительноечисло ,что b=a.

Теорема:Для того чтобы два векторабыли линейно-зависимынеобходимои достаточно,что бы они быликоллинеарны.

Доказательство:достаточность.Т.к. векторыколлинеарны,то b=a.Будем считать,что а,b0(если нет, тосистема линейно-зависимапо 1 свойству).1b-a=0.Т.к. коэфф. Приb0,то системалинейно зависимапо определению.Необходимость.Пусть а и bлинейно-зависимы.а+b=0,0.а= -b/*b.а и b коллинеарныпо определениюумножениявектора начисло.

Теорема:для того, чтобытри векторабыли линекно-зависимынеобходимои достаточно,чтобы они быликомпланарны.Необходимость.

Дано:a, b, c – линейно-зависимы.Доказать: a, b, c –компланарны.Доказательство:т.к. векторылинейно-зависимы,то а+b+c=0,0.с= - /*а- /*b.с-диагональпараллелограмма,поэтому a, b, c лежатв одной плоскости.

БАЗИССИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ.РАЗЛИЧНЫЕСИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

1.Определение:пусть задананекотораясистема векторов.Базисом этойсистемы называетсямах. совокупностьлинейно-независимыхвекторов системы.

Вмножествевекторов напрямой базиссостоит изодного ненулевоговектора.

Вкачестве базисамножествавекторов наплоскости можновзять произвольнуюпару.

Вмножествевекторов втрехмерномпространствебазис состоитиз трех некомпланарныхвекторов.

2.Прямоугольная(декартова)система координатна плоскостиопределяетсязаданием двухвзаимно перпендикулярныхпрямых с общимначалом и одинаковоймасштабнойед. на осях.

Прямоугольная(декартова)система координатв пространствеопределяетсязаданием трехвзаимно перпендикулярныхпрямых с общейточкойпересеченияи одинаковоймасштабнойед. на осях.

СКАЛЯРНОЕПРОИЗВЕДЕНИЕВЕКТОРОВ.

Определение:скалярнымпроизведениемдвух векторовназываетсяпроизведениедлин двух векторовна косинус угламежду ними.

(а,b)=|a||b| cos u, u90, пр-еотриц.

Свойства:

(а,b)=(b,а)
(а,b)=(а,b)
(а+b,с)=(а,с)+ (b,с)
(а,а)=|a|²– скал.квадрат.

Определение:два вектораназываютсяортоганальными,когда скалярноепр-е равно 0.

Определение:вектор называетсянормированным,если его скал.кв.равен1.

Определение:базис множествавекторов называетсяортонормированным,если все векторыбазиса взаимно-ортагональныи каждый векторнормирован.

Теорема:Если векторыа и b заданыкоординатамив ортонормированномбазисе, то ихскалярноепроизведениеравно суммепроизведенийсоответствующихкоординат.

Найдемформулу угламежду векторамипо определениюскалярногопроизведения.cos u=a,b/|a||b|=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂/sqrt(x₁²+y₁²+z₁²)*sqrt(x₂²+y₂²+z₂²)

ВЕКТОРНОЕПРОИЗВЕДЕНИЕВЕКТОРОВ.

Определение:векторнымпроизведениемдвух векторовa и b обозначаемым[a,b] называетсявектор с удовлетворяющийслед. требованиям:1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3.а, b, с образуютправую тройку.

Свойства:

[a,b]= -[b,a]
[а,b]=[а,b]
[a+b,c]=[a,c]+[b,c]
[a,a]=0

Теорема:Длина векторногопроизведениявекторов равнаплощади параллелограммапостроенногона этих векторах.

Доказательство:справедливостьтеоремы вытекаетиз первоготребованияопределениявекторногопроизведения.

Теорема:Пусть векторыа и b заданыкоординатамив ортонормированномбазисе, тогдавекторноепроизведениеравно определителютретьего порядкав первой строкекоторого наход-сябазисны векторы,во второй –координатыпервого вектора,в третьей –координатывторого.

Определение:ортой вектораа называетсявектор ед. длиныимеющий одинаковоенаправлениес вектором а.e_a=a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕУРАВНЕНИЯПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

1.Общееур-е пр. 2. Ур-е пр.в отрезках. 3.Каноническоеур-е пр. 4. Ур-е пр.ч/з две точки.5. Ур-е пр. с углов.коэфф. 6. Нормальноеур-е прямой.Расст. от точкидо прямой. 7.Параметрическоеур-е пр. 8. Пучокпр. 9.Угол междупр.

Ах+By+C=0(1), где A, B одновр.неравны нулю.

Теорема:n(A,B) ортоганаленпрямой заданнойур-ем (1).

Доказательство:подставимкоорд. т.М₀в ур-е (1) и получимАх₀+By₀+C=0(1’). Вычтем (1)-(1’)получим А(х-х₀)+B(y-y₀)=0,n(A,B), М₀М(х-х₀,y-y₀). Слевав полученномравенствезаписано скалярноепроизведениевекторов, оноравно 0, значитn и M₀Mортоганальны.Т.о. n ортоганленпрямой. Векторn(A,B) называетсянормальнымвектором прямой.

Замечание:пусть ур-яА₁х+B₁y+C₁=0и А₂х+B₂y+C₂=0определяютодну и ту жепрямую, тогданайдется такоедействительноечисло t, что А₁=t*А₂и т.д.

Определение:если хотя быодин из коэффициентовв ур-ии (1) =0, то ур-еназываетсянеполным.

1.С=0,Ах+By=0 – проходитч/з (0,0)

2. С=0,А=0,By=0, значит у=0

3. С=0,B=0, Ах=0, значитх=0

4. А=0,By+C=0, паралл. ОХ

5.B=0,Ах+C=0, паралл.OY

x/a+y/b=1.

Геом.смысл:прямая отсекаетна осях координатотрезки а и b

x-x₁/e=y-y₁/m

Пустьна прямой заданаточка и напр.вектор прямой (паралл.пр.).Возьмем напрямой произв.точки. q и M₁М(х-х₁;y-y₁)

x-x₁/x₂-x₁=y-y₁/y₂-y₁

Пустьна прямой даныдве точки М₁(x₁;y₁)и М₂(x₂;y₂).Т.к. на прямойзаданы дветочки, то заданнаправляющийвектор q(x₂-x₁;y₂-y₁)

y=kb+b.

u –угол наклонапрямой. Tg угланаклона называетсяугловым коэффициентомпрямой k=tg u

Пустьпрямая заданав каноническомвиде. Найдемугловой коэффициентпрямой tg u = m/e. Тогдавидим x-x₁/e/e=y-y₁/m/e.y-y₁=k(x-x₁)при y₁-kx₁=b,y=kx+b

xcos+ysin-P=0

 -угол междувектором ОРи положительнымнапр. оси ОХ.

Задача:записать ур-епрямой , еслиизветны Р и 

Решение:Выделим напрямой ОР векторед. длины n. |n|=1, n(cos,sin).Пусть М(x,y) – произв.точкапрямой. Рассмотримдва вектораn и ОМ. Найдемдвумя способвамиих скал.произведение.1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosx+siny.Приравняемправые части.

Задача:прямая заданаобщим ур-ем.Перейти к норм.виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к.уравненияопределяютодну прямую,то сущ. коэфф.пропорциональности.

Cos²=(A*t)²

Sin²=(B*t)²

-p=C*t

cos²+sin²=t²(A²+B²),t²=1/A²+B²,t=sqrt(1/A²+B²).Sign t= - sign C

Чтобы найти нормальноеуравнениепрямой нужнообщее ур-е умножитьна t.

Аtх+Bty+Ct=0,t-нормирующиймножитель.

7. Система:x=et+x₁ иy=mt+y₁

НОРМАЛЬНОЕУРАВНЕНИЕПРЯМОЙ. Расстояниеот точки допрямой.

1.xcos+ysin-P=0

 -угол междувектором ОРи положительнымнапр. оси ОХ.

Задача:записать ур-епрямой , еслиизветны Р и 

Задача:прямая заданаобщим ур-ем.Перейти к норм.виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к.уравненияопределяютодну прямую,то сущ. коэфф.пропорциональности.

Cos²=(A*t)²

Sin²=(B*t)²

-p=C*t

cos²+sin²=t²(A²+B²),t²=1/A²+B²,t=sqrt(1/A²+B²).Sign t= - sign C

Чтобы найти нормальноеуравнениепрямой нужнообщее ур-е умножитьна t.

Аtх+Bty+Ct=0,t-нормирующиймножитель.

2. Обозначимd – расстояниеот точки допрямой, а ч/з б– отклонениеточки от прямой.б=d, если нач.коорд.и точка по разныестороны; = - d, еслинач.коорд. иточка по однусторону.

Теорема:Пусть заданонормальноеуравнениепрямой xcos+ysin-P=0и М₁(x₁;y₁),тогда отклонениеточки М₁= x₁cos+y₁sin-P=0

ГИПЕРБОЛА.

Определение:ГМТ на плоскостимодуль разностирасстоянийот которых додвух фиксированныхточек, называемыхфокусами, естьвеличина постоянная

Каноническоеуравнение:

Будемсчитать, чтофокусы гиперболынаходятся наОХ на одинаковомрасстоянииот начала координат.|F₁F₂|=2c,М – произвольнаяточка гиперболы.r₁, r2 –расстоянияот М до фокусов;
|r₂-r₁|=2a;a

x²c²-2a²xc+a²=a²(x²-2xc+c²+y²)

x²(c²-a²)-a²y²=a²(c²-a²)

c²-a²=b²

x²b²-a²y²=a²b²

- каноническоеур-е гиперболы

ПАРАБОЛА.

Определение:ГМТ на плоскостирасстояниеот которых дофиксированнойточки на плоскости,называемойфокусом, равнорасстояниюдо фиксированнойпрямой этойплоскостиназываемойдиректрисой.

Каноническоеуравнение:

Пустьфокус параболынаходится наоси ОХ, а директрисарасположениеперпендикулярнооси ОХ, причемони находятсяна одинаковомрасстоянииот начала координат.

|DF|=p, М– произвольнаяточка параболы;К – точка надиректрисе;МF=r; MK=d;

r=sqrt((x-p/2)²+y²);d=p/2+x

Приравниваеми получаем:

y²=2px-каноническоеуравнениепараболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТИ ДИРЕКТРИСАЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

1.Определение:эксцентриситет– величинаравная отношениюс к а.

е=с/а

еэллипсв c)

египерболы >1(т.к. с>a)

Определение:окружность– эллипс у которогоа=b, с=0, е=0.

Выразимэксцентриситетычерез а и b:

еэллипса являетсямерой его«вытянутости»

египерболыхарактеризуетугол растворамежду асимптотами

2.ДиректрисойD эллипса (гиперболы),соответствующейфокусу F, называетсяпрямая расположеннаяв полуплоскостиперпендикулярнобольшой осиэллипса и отстоящийот его центрана расстоянииа/е>a (а/е

D₁:x= - a/e

D₂:x= a/e

р=а(1-е²)/е– для эллипса

р=а(е²-1)/е– для гиперболы

ТЕОРЕМАОБ ОТНОШЕНИИРАССТОЯНИЙ.2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ,ПАРАБОЛЫ.

Теорема:Отношениерасстояниялюбой точкиэллипса (гиперболы)до фокуса красстояниюот нее до соответствующейдиректрисыесть величинапостояннаяравная е эллипса(гиперболы).

Доказательство:для эллипса.

r₁/d₁=e

x|a|,xe+a>0

r₁=xe+a

d₁– расстояниеот М(x,y) до прямойD₁

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б_м=-x-a/e

d₁=-б_м(минус, т.к. прямаяи точка по однустороно о началакоорд.)

Определение:ГМТ на плоскости,отношениерасстоянияот которых дофокуса, к расстояниюдо соответствующейдиректрисыесть величинапостояннаяи представляетсобой эллипс,если 1, параболу,если =1.

ПОЛЯРНОЕУРАВНЕНИЕЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ,ПАРАБОЛЫ.

Пустьзадан эллипс,парабола илиправая ветвьгиперболы.

Пустьзадан фокусэтих кривых.Поместим полюсполярной системыв фокус кривой,а полярную осьсовместим сосью симметрии,на которойнаходитсяфокус.

r= 

d=p+cos

e=/p+cos

- полярноеуравнениеэллипса, параболыи правой ветвигиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯК КРИВОЙ 2-ГОПОРЯДКА.

Пустьзадан эллипсв каноническомвиде. Найдемуравнениекасательнойк нему, проходящейчерез М₀(x₀;y₀)– точка касания,она принадлежитэллипсу значитсправедливо:

у-у₀=y’(x₀)(x-x₀)

Рассмотримкасательнуюк кривой

следовательно

ya²y₀-a²y₀²+b²x₀x-b²x₀²=0

- уравнениекасательнойк эллипсу.

- уравнениекасательнойк гиперболе.

- уравнениекасательнойк параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕДЕКАРТОВЫХПРЯМОУГОЛЬНЫХКООРДИНАТ НАПЛОСКОСТИ.

Преобразованиена плоскостиесть применениепреобразованийпараллельногопереноса иповорота.

Пустьдве прямоугольныесистемы координатимеют общееначало. Рассмотримвсе возможныескалярныепроизведениябазисных векторовдвумя способами:

(е₁;е₁’)=cosu

(е₁;е₂’)=cos(90+u)= -sin u

(е₂;е₁’)=cos(90-u)=sin u

(е₂;е₂’)=cosu

Базисрассматриваетсяортонормированный:

(е₁;е₁’)=(е₁,₁₁е₁+₁₂е₂)=₁₁

(е₁;е₂’)=(е₁,₂₁е₁+₂₂е₂)=₂₁

(е₂;е₁’)=₁₂

(е₂;е₂’)=₂₂

Приравниваем:

₁₁=cosu

₂₁=- sin u

₁₂=sinu

₂₂=cosu

Получаем:

x=a+x’cosu – y’sin u

y=b+x’sinu – y’cos u- формулыповорота системыкоординат наугол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’-формулы параллельногопереноса

ИНВАРИАНТЫУРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ2-ГО ПОРЯДКА.

Определение:Инвариантойур-я (1) линиивторого порядкаотносительнопреобразованиясистемы координат,называетсяфункция зависящаяот коэффициентовур-я (1) и не меняющаясвоего значенияпри преобразованиисистемы координат.

Теорема:инвариантамиуравнения (1)линии второгопорядка относительнопреобразованиясистемы координатявляются следующиевеличины: I₁;I₂; I₃

Вывод:при преобразованиисистемы координат3 величины остаютсянеизменными,поэтому онихарактеризуютлинию.

Определение:

I₂>0– элиптическийтип

I₂

I₂=0– параболическийтип

ЦЕНТРЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пустьзадана на плоскостилиния уравнением(1).

Параллельныйперенос:

Параллельноперенесемсистему XOY навектор OO’ т.о.что бы в системеX’O’Y’ коэфф. приx’ и y’ преобразованногоуравнениякривой оказалисьравными нулю.После этого:

a₁₁x’²+2a₁₂x’y’+a₂₂y’²+a’₃₃=0(2)

точкаО’ находитсяиз условия:a₁₃’=0 иa₂₃’=0.

Получаетсясистема a₁₁x₀+a₁₂y₀+a₁₃=0и a₁₂x₀+a₂₂y₀+a₂₃=0

Покажем,что новое началокоординат (еслисистема разрешима)является центромсимметриикривой: f(x’;y’)=0,f(-x’;-y’)= f(x’;y’)

Ноточка О’ существуетесли знаменателиу x₀ иy₀ отличныот нуля.

ТочкаO’ – единственнаяточка.

Центрсимметриикривой существуетесли I₂0т.е. центр симметрииимеют линииэлиптическогои гиперболическоготипа

Поворот:

Пустьсистема XOY повернутана угол u. В новойсистеме координатуравнение несодержит членас x’y’ т.е. мы делаемкоэфф. а₁₂=0.a₁₂’=-0,5(a₁₁-a₂₂)sin2u+a₁₂cos2u=0(разделим наsin2u), получим:

,после такогопреобразованияуравнениепринимает вид

a₁₁’x’²+a₂₂’y’²+2a₁₃’x’+2a₂₃’y’+a₃₃’=0(3)

ТЕОРЕМАО ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГОТИПА.

Теорема:Пусть заданалиния элиптическоготипа т.е. I₂>0и пусть I₁>0следовательноуравнение (1)определяет:1. I₃3=0– точка; 3. I₃>0– ур-е (1) не определяет.Если I₃=0говорят, чтоэллипс вырождаетсяв точку. ЕслиI₃>0 говорят,что задаетсямнимый эллипс.Пусть послеПП и поворотаур-е (1) принимаетвид (*).

Доказательство:

1. пустьI₂>0, I₁>0,I₃

а₁₁’’x’’²+a₂₂’’y’’²=-I₃/I₂

I₂=a₁₁’’a₂₂’’> 0

I₁=a₁₁’’+a₂₂’’> 0

a₁₁’’> 0;a₂₂’’> 0

Итак,под корнямистоят положительныечисла, следовательно,уравнениеэллипса.

2. I₃>0в данном случаепод корнемстоят отрицательныечисла, следовательноуравнение неопределяетдействительногогеометрическогообраза.

3. I₃=0в данном случает(0,0) – случайвырожденияэллипса.

ТЕОРЕМАО ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГОТИПА.

Теорема:Пусть уравнение(1) определяетлинию гиперболическоготипа. Т.е. I₂30- ур-е (1) определяетгиперболу; I₃=0– пару пересекающихсяпрямых.

Доказательство:I₂2=a₁₁’’a₂₂’’11’’>0;a₂₂’’

ПустьI₃>0

Вданном случаемы имеем гиперболус действительнойосью ОХ.

ПустьI₃

-(-а₁₁’’)x’’²+a₂₂’’y’’²=-I₃/I₂

В этомслучае мы имеемгиперболу сдействительнойосью ОY

ПустьI₃=0

а₁₁’’x’’²-(-a₂₂’’)y’’²=0

АСИМПТОТИЧЕСКИЕНАПРАВЛЕНИЯКРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пустькрива второгопорядка заданауравнением(1). Рассмотримквадратнуючасть этогоуравнения:u(x,y)= a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²

Определение:ненулевойвектор (,)координатыкоторого обращаютв ноль квадратичнуючасть называетсявекторомасимптотическогонаправлениязаданной кривой.

(,)– вектор асимптотическогонаправления.

a₁₁²+2a₁₂+a₂₂²=0(*)

Рассмотрим(’,’)параллельный(,):

следовательно

.Дробь /характеризуетвектор асимптотическогонаправления.

Задача:выяснить какиеасимптотическиенаправленияимеют кривые2-го порядка.

Решение:положим, что0и поделим на²,получим:a₁₁(/)²+2a₁₂/+a₂₂=0из этого квадратногоуравнениянайдем /.

т.к.у линий гиперболического и параболическоготипов I₂0,то они имеютасимптотическиенаправления.Т.к. у эллипсаI₂>0следовательнотаких у негонет (говорятон имеет мнимыеасимптотическиенаправления).

Найдемасимптотическиенаправленияу гиперболы:

(,)₁=(a,b)

(,)₂=(-a,b)

Векторыасимптотическогонаправленияявляютсянаправляющимивекторами дляасимптот.

Итак:гипербола имеетдва асимптотическихнаправления,которые определяютсяасимптотамигиперболы.

Найдемасимптотическиенаправленияу параболы:

y²=2px

y²-2px=0

u(x,y)= y²+0,y=0

(,)=(0,0)

Итак:вектор асимптотическогонаправленияпараболы лежитна оси симметриипараболы, т.е.прямая асимптотическогонаправленияпересекаетпараболу водной точке,след. асимптотойне является.Парабола имеетодно асимптотическоенаправление,но асимптотне имеет.

РАЗЛИЧНЫЕУРАВНЕНИЯПЛОСКОСТИ.

Пустьзадано трехмерноепространство.

Теорема:Плоскость вафинной системекоординатзадается уравнениемпервой степениот трех переменных:Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C0одновреенно.Справедливаи обратнаятеорема.

Теорема:Вектор n(A, B, C) ортоганаленплоскости,задаваемойобщим уравнением.

Векторn – нормальныйвектор плоскости.

2. Уравнениеплоскости вотрезках:

3. Уравнениеплоскости,определеннойнормальнымвектором иточкой.

Пустьn(A,B,C) и М(x₀;y₀;z₀).Запишем ур-епл-ти:

Ax+By+Cz+D=0

Ax₀+By₀+Cz₀=-D

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

Уравнениеплоскости ч/з3 точки.

Пустьизвестны триточки не принадл.одной прямой.

М₁(x₁;y₁;z₁);М₂(x₂;y₂;z₂);М₃(x₃;y₃;z₃)

ПустьМ(x;y;z) – произвольнаяточка плоскости.Т.к. точки принадл.одной плоскостито векторыкомпланарны.

М₁Мx-x₁y-y₁z-z₁

М₁М₂x₂-x₁y₂-y₁z₂-z₁=0

М₁М₃x₃-x₁y₃-y₁z₃-z₁

Параметрическоеур-е плоскости.

Пустьплоскостьопределенаточкой и паройнекомпланарныхвекторов.V(V₁;V₂;V₃);U(U₁;U₂;U₃);M₀(x₀;y₀;z₀),тогда плостостьимеет вид: система:x=x₀+V₁t+U₁sи y=y₀+V₂t+U₂sи z=z₀+V₃t+U₃s

РАССТОЯНИЕОТ ТОЧКИ ДОПЛОСКОСТИ.

Ax+By+Cz+D=0;M₀(x₀;y₀;z₀)

ВЗАИМНОЕРАСПОЛОЖЕНИЕПЛОСКОСТЕЙВ ПРОСТРАНСТВЕ.

Уголмежду плоскостями:пусть заданыдве плоскости:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0;A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0,поэтому n₁(A₁;B₁;C₁);n₂(A₂;B₂;C₂).Отыскание угламежду плоскостямисводится котысканию егомежду нормальнымивекторами.

Пучкии связки плоскостей.

Определение:пучком плоскостейназываетсясовокупностьплоскостей,проходящихч/з одну и туже прямую.

Чтобы задать пучокплоскостейд.б. определеныдве плоскости

Теорема:Пусть две плоскостипучка заданыуравнениями:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0;A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0,тогда любаядругая плоскостьпучка заданауравнением:(A₁x+B₁y+C₁z+D₁)+(A₂x+B₂y+C₂z+D₂),где и принадлежатR и не равны нулюодновременно.

Определение:связкой плоскостейназываетсясовокупностьплоскостей,роходящих ч/зодну точку. Этаточка называетсяцентром связки.

Условиядля плоскостей:

1. n₁параллеленn₂

- параллельности.

2.A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0– перпендикулярности.

3.пересечениятрех плоскостейв одной точке:

Пустьзаданы триплоскости:система: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0;A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0;A₃x+B₃y+C₃z+D₃=0

Даннаясистема должнаиметь единственноерешение, а поэтомуее определительсоставленныйиз коэфф. прикаждом не равен0.

46406.1.1287352064.doc

ЛИНЕЙНАЯЗАВИСИМОСТЬВЕКТОРОВ.

Пустьзадана системавекторов а₁,а₂, а₃,…,а_л(1) одной размерности.

Свойства

Еслисистема векторовсодержит нулевойвектор, то оналинейно зависима
Еслисистема векторовсодержитлинейно-зависимуюподсистемувекторов, тоона будетлинейно-зависимой.
Еслисистема векторовлинейно-независима,то и любая ееподсистемабудет линейнонезависимой.
Еслисистема векторовсодержит хотябы один вектор,являющийсялинейной комбинациейдругих векторов,то эта системавекторов будетлинейно зависимой.

Определение:два вектораназываютсяколлинеарными,если они лежатна параллельныхпрямых.

Определение:три вектораназываютсякомпланарными,если они лежатв параллельныхплоскостях.

Теорема:Для того чтобы два векторабыли линейно-зависимынеобходимои достаточно,что бы они быликоллениарны.

Дано:a, b, c – линейно-зависимы.Доказать: a,b, c – компланарны.Доказательство:т.к. векторылинейно-зависимы,то а+b+c=0,0.с= - /*а- /*b.с-диагональпараллелограмма,поэтому a,b, c лежат в однойплоскости.

БАЗИССИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ.РАЗЛИЧНЫЕСИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

Вмножествевекторов напрямой базиссостоит изодного ненулевоговектора.

Вкачестве базисамножествавекторов наплоскости можновзять произвольнуюпару.

Вмножествевекторов втрехмерномпространствебазис состоитиз трех некомпланарныхвекторов.

СКАЛЯРНОЕПРОИЗВЕДЕНИЕВЕКТОРОВ.

(а,b)=|a||b| cos u, u90, пр-е отриц.

Свойства:

(а,b)=(b,а)
(а,b)=(а,b)
(а+b,с)=(а,с)+ (b,с)
(а,а)=|a|²– скал.квадрат.

Определение:два вектораназываютсяортоганальными,когда скалярноепр-е равно 0.

Определение:вектор называетсянормированным,если его скал.кв.равен1.

Теорема:Если векторыа и bзаданы координатамив ортонормированномбазисе, то ихскалярноепроизведениеравно суммепроизведенийсоответствующихкоординат.

Найдемформулу угламежду векторамипо определениюскалярногопроизведения.cosu=a,b/|a||b|=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂/sqrt(x₁²+y₁²+z₁²)*sqrt(x₂²+y₂²+z₂²)

ВЕКТОРНОЕПРОИЗВЕДЕНИЕВЕКТОРОВ.

Определение:векторнымпроизведениемдвух векторовa иb обозначаемым[a,b]называетсявектор с удовлетворяющийслед. требованиям:1. |c|=|a||b|sin u.2. (с,а)=0 и (с,b)=0.3. а, b, собразуют правуютройку.

Свойства:

[a,b]= - [b,a]
[а,b]=[а,b]
[a+b,c]=[a,c]+[b,c]
[a,a]=0

Теорема:Длина векторногопроизведениявекторов равнаплощади параллелограммапостроенногона этих векторах.

Доказательство:справедливостьтеоремы вытекаетиз первоготребованияопределениявекторногопроизведения.

Теорема:Пусть векторыа и bзаданы координатамив ортонормированномбазисе, тогдавекторноепроизведениеравно определителютретьего порядкав первой строкекоторого наход-сябазисны векторы,во второй –координатыпервого вектора,в третьей –координатывторого.

Определение:ортой вектораа называетсявектор ед. длиныимеющий одинаковоенаправлениес вектором а.e_a=a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕУРАВНЕНИЯПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

Ах+By+C=0(1), где A, B одновр.неравны нулю.

Теорема:n(A,B) ортоганаленпрямой заданнойур-ем (1).

Доказательство:подставимкоорд. т.М₀в ур-е (1) и получимАх₀+By₀+C=0(1’). Вычтем(1)-(1’)получим А(х-х₀)+B(y-y₀)=0,n(A,B),М₀М(х-х₀,y-y₀).Слева в полученномравенствезаписано скалярноепроизведениевекторов, оноравно 0, значитn и M₀Mортоганальны.Т.о. nортоганленпрямой. Векторn(A,B) называетсянормальнымвектором прямой.

Определение:если хотя быодин из коэффициентовв ур-ии (1) =0, то ур-еназываетсянеполным.

1.С=0,Ах+By=0– проходит ч/з(0,0)

2.С=0, А=0,By=0, значиту=0

3. С=0,B=0,Ах=0, значитх=0

4. А=0, By+C=0,паралл. ОХ

5.B=0,Ах+C=0,паралл. OY

x/a+y/b=1.

Геом.смысл:прямая отсекаетна осях координатотрезки а и b

x-x₁/e=y-y₁/m

Пустьна прямой заданаточка и напр.вектор прямой (паралл.пр.).Возьмем напрямой произв.точки. qиM₁М(х-х₁;y-y₁)

x-x₁/x₂-x₁=y-y₁/y₂-y₁

y=kb+b.

u– уголнаклона прямой.Tg угланаклона называетсяугловым коэффициентомпрямой k=tgu

Пустьпрямая заданав каноническомвиде. Найдемугловой коэффициентпрямой tgu = m/e. Тогдавидим x-x₁/e/e=y-y₁/m/e.y-y₁=k(x-x₁)при y₁-kx₁=b,y=kx+b

xcos+ysin-P=0

 -угол междувектором ОРи положительнымнапр. оси ОХ.

Задача:записать ур-епрямой , еслиизветны Р и 

Решение:Выделим напрямой ОР векторед. длины n.|n|=1,n(cos,sin).Пусть М(x,y)– произв.точкапрямой. Рассмотримдва вектораn иОМ. Найдем двумяспособвамиих скал.произведение.1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р.2. ОМ*n=cosx+siny.Приравняемправые части.

Задача:прямая заданаобщим ур-ем.Перейти к норм.виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравненияопределяютодну прямую,то сущ. коэфф.пропорциональности.

Cos²=(A*t)²

Sin²=(B*t)²

-p=C*t

cos²+sin²=t²(A²+B²),t²=1/A²+B²,t=sqrt(1/A²+B²).Sign t= - sign C

Чтобы найти нормальноеуравнениепрямой нужнообщее ур-е умножитьна t.

Аtх+Bty+Ct=0,t-нормирующиймножитель.

7. Система:x=et+x₁и y=mt+y₁

НОРМАЛЬНОЕУРАВНЕНИЕПРЯМОЙ. Расстояниеот точки допрямой.

1.xcos+ysin-P=0

 -угол междувектором ОРи положительнымнапр. оси ОХ.

Задача:записать ур-епрямой , еслиизветны Р и 

Решение:Выделим напрямой ОР векторед. длины n.|n|=1,n(cos,sin).Пусть М(x,y)– произв.точкапрямой. Рассмотримдва вектораn иОМ. Найдем двумяспособвамиих скал.произведение.1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р.2. ОМ*n=cosx+siny.Приравняемправые части.

Задача:прямая заданаобщим ур-ем.Перейти к норм.виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравненияопределяютодну прямую,то сущ. коэфф.пропорциональности.

Cos²=(A*t)²

Sin²=(B*t)²

-p=C*t

cos²+sin²=t²(A²+B²),t²=1/A²+B²,t=sqrt(1/A²+B²).Sign t= - sign C

Чтобы найти нормальноеуравнениепрямой нужнообщее ур-е умножитьна t.

Аtх+Bty+Ct=0,t-нормирующиймножитель.

2.Обозначим d– расстояниеот точки допрямой, а ч/з б– отклонениеточки от прямой.б=d,если нач.коорд.и точка по разныестороны;= - d,если нач.коорд.и точка по однусторону.

ГИПЕРБОЛА.

Каноническоеуравнение:

Будемсчитать, чтофокусы гиперболынаходятся наОХ на одинаковомрасстоянииот начала координат.|F₁F₂|=2c,М – произвольнаяточка гиперболы.r₁,r2 – расстоянияот М до фокусов;
|r₂-r₁|=2a;a

x²c²-2a²xc+a²=a²(x²-2xc+c²+y²)

x²(c²-a²)-a²y²=a²(c²-a²)

c²-a²=b²

x²b²-a²y²=a²b²

- каноническоеур-е гиперболы

ПАРАБОЛА.

Каноническоеуравнение:

|DF|=p,М – произвольнаяточка параболы;К – точкана директрисе;МF=r; MK=d;

r=sqrt((x-p/2)²+y²);d=p/2+x

Приравниваеми получаем:

y²=2px-каноническоеуравнениепараболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТИ ДИРЕКТРИСАЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

1.Определение:эксцентриситет– величинаравная отношениюс к а.

е=с/а

еэллипсв c)

египерболы >1(т.к. с>a)

Определение:окружность– эллипс у которогоа=b,с=0, е=0.

Выразимэксцентриситетычерез а и b:

еэллипса являетсямерой его«вытянутости»

египерболыхарактеризуетугол растворамежду асимптотами

2.ДиректрисойDэллипса(гиперболы),соответствующейфокусу F,называетсяпрямая расположеннаяв полуплоскостиперпендикулярнобольшой осиэллипса и отстоящийот его центрана расстоянииа/е>a (а/е

D₁:x= - a/e

D₂:x= a/e

р=а(1-е²)/е– для эллипса

р=а(е²-1)/е– для гиперболы

ТЕОРЕМАОБ ОТНОШЕНИИРАССТОЯНИЙ.2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ,ПАРАБОЛЫ.

Доказательство:для эллипса.

r₁/d₁=e

x|a|,xe+a>0

r₁=xe+a

d₁– расстояниеот М(x,y)до прямой D₁

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б_м=-x-a/e

d₁=-б_м(минус, т.к.прямая и точкапо одну стороноо начала коорд.)

ПОЛЯРНОЕУРАВНЕНИЕЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ,ПАРАБОЛЫ.

Пустьзадан эллипс,парабола илиправая ветвьгиперболы.

r=

d=p+cos

e=/p+cos

- полярноеуравнениеэллипса, параболыи правой ветвигиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯК КРИВОЙ 2-ГОПОРЯДКА.

Пустьзадан эллипсв каноническомвиде. Найдемуравнениекасательнойк нему, проходящейчерез М₀(x₀;y₀)– точкакасания, онапринадлежитэллипсу значитсправедливо:

у-у₀=y’(x₀)(x-x₀)

Рассмотримкасательнуюк кривой

следовательно

ya²y₀-a²y₀²+b²x₀x-b²x₀²=0

- уравнениекасательнойк эллипсу.

- уравнениекасательнойк гиперболе.

- уравнениекасательнойк параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕДЕКАРТОВЫХПРЯМОУГОЛЬНЫХКООРДИНАТ НАПЛОСКОСТИ.

Преобразованиена плоскостиесть применениепреобразованийпараллельногопереноса иповорота.

(е₁;е₁’)=cosu

(е₁;е₂’)=cos(90+u)= -sin u

(е₂;е₁’)=cos(90-u)=sin u

(е₂;е₂’)=cosu

Базисрассматриваетсяортонормированный:

(е₁;е₁’)=(е₁,₁₁е₁+₁₂е₂)=₁₁

(е₁;е₂’)=(е₁,₂₁е₁+₂₂е₂)=₂₁

(е₂;е₁’)=₁₂

(е₂;е₂’)=₂₂

Приравниваем:

₁₁=cosu

₂₁=- sin u

₁₂=sinu

₂₂=cosu

Получаем:

x=a+x’cos u –y’sin u

y=b+x’sinu – y’cos u- формулыповорота системыкоординат наугол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’-формулыпараллельногопереноса

ИНВАРИАНТЫУРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ2-ГО ПОРЯДКА.

Вывод:при преобразованиисистемы координат3 величины остаютсянеизменными,поэтому онихарактеризуютлинию.

Определение:

I₂>0– элиптическийтип

I₂

I₂=0– параболическийтип

ЦЕНТР ЛИНИИ2-ГО ПОРЯДКА.

Пустьзадана на плоскостилиния уравнением(1).

Параллельныйперенос:

Параллельноперенесемсистему XOYна вектор OO’т.о. что бы в системеX’O’Y’коэфф. приx’ иy’ преобразованногоуравнениякривой оказалисьравными нулю.После этого:

a₁₁x’²+2a₁₂x’y’+a₂₂y’²+a’₃₃=0(2)

точкаО’находится изусловия: a₁₃’=0и a₂₃’=0.

Получаетсясистема a₁₁x₀+a₁₂y₀+a₁₃=0и a₁₂x₀+a₂₂y₀+a₂₃=0

Ноточка О’существуетесли знаменателиу x₀иy₀отличныот нуля.

ТочкаO’– единственнаяточка.

Центрсимметриикривой существуетесли I₂0т.е. центрсимметрии имеютлинии элиптическогои гиперболическоготипа

Поворот:

Пустьсистема XOYповернута науголu. В новойсистеме координатуравнение несодержит членас x’y’т.е. мы делаемкоэфф. а₁₂=0.a₁₂’=-0,5(a₁₁-a₂₂)sin2u+a₁₂cos2u=0(разделимна sin2u),получим:

,после такогопреобразованияуравнениепринимает вид

a₁₁’x’²+a₂₂’y’²+2a₁₃’x’+2a₂₃’y’+a₃₃’=0(3)

ЛИНЕЙНАЯЗАВИСИМОСТЬВЕКТОРОВ.

Пустьзадана системавекторов а₁,а₂, а₃,…,а_л(1) одной размерности.

Свойства

Еслисистема векторовсодержит нулевойвектор, то оналинейно зависима
Еслисистема векторовсодержитлинейно-зависимуюподсистемувекторов, тоона будетлинейно-зависимой.
Еслисистема векторовлинейно-независима,то и любая ееподсистемабудет линейнонезависимой.
Еслисистема векторовсодержит хотябы один вектор,являющийсялинейной комбинациейдругих векторов,то эта системавекторов будетлинейно зависимой.

Определение:два вектораназываютсяколлинеарными,если они лежатна параллельныхпрямых.

Определение:три вектораназываютсякомпланарными,если они лежатв параллельныхплоскостях.

Теорема:Для того чтобы два векторабыли линейно-зависимынеобходимои достаточно,что бы они быликоллинеарны.

БАЗИССИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ.РАЗЛИЧНЫЕСИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

Вмножествевекторов напрямой базиссостоит изодного ненулевоговектора.

Вкачестве базисамножествавекторов наплоскости можновзять произвольнуюпару.

Вмножествевекторов втрехмерномпространствебазис состоитиз трех некомпланарныхвекторов.

СКАЛЯРНОЕПРОИЗВЕДЕНИЕВЕКТОРОВ.

(а,b)=|a||b| cos u, u90, пр-еотриц.

Свойства:

(а,b)=(b,а)
(а,b)=(а,b)
(а+b,с)=(а,с)+ (b,с)
(а,а)=|a|²– скал.квадрат.

Определение:два вектораназываютсяортоганальными,когда скалярноепр-е равно 0.

Определение:вектор называетсянормированным,если его скал.кв.равен1.

ВЕКТОРНОЕПРОИЗВЕДЕНИЕВЕКТОРОВ.

Свойства:

[a,b]= -[b,a]
[а,b]=[а,b]
[a+b,c]=[a,c]+[b,c]
[a,a]=0

Теорема:Длина векторногопроизведениявекторов равнаплощади параллелограммапостроенногона этих векторах.

Доказательство:справедливостьтеоремы вытекаетиз первоготребованияопределениявекторногопроизведения.

Определение:ортой вектораа называетсявектор ед. длиныимеющий одинаковоенаправлениес вектором а.e_a=a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕУРАВНЕНИЯПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

Ах+By+C=0(1), где A, B одновр.неравны нулю.

Теорема:n(A,B) ортоганаленпрямой заданнойур-ем (1).

Определение:если хотя быодин из коэффициентовв ур-ии (1) =0, то ур-еназываетсянеполным.

1.С=0,Ах+By=0 – проходитч/з (0,0)

2. С=0,А=0,By=0, значит у=0

3. С=0,B=0, Ах=0, значитх=0

4. А=0,By+C=0, паралл. ОХ

5.B=0,Ах+C=0, паралл.OY

x/a+y/b=1.

Геом.смысл:прямая отсекаетна осях координатотрезки а и b

x-x₁/e=y-y₁/m

Пустьна прямой заданаточка и напр.вектор прямой (паралл.пр.).Возьмем напрямой произв.точки. q и M₁М(х-х₁;y-y₁)

x-x₁/x₂-x₁=y-y₁/y₂-y₁

y=kb+b.

u –угол наклонапрямой. Tg угланаклона называетсяугловым коэффициентомпрямой k=tg u

xcos+ysin-P=0

 -угол междувектором ОРи положительнымнапр. оси ОХ.

Задача:записать ур-епрямой , еслиизветны Р и 

Задача:прямая заданаобщим ур-ем.Перейти к норм.виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к.уравненияопределяютодну прямую,то сущ. коэфф.пропорциональности.

Cos²=(A*t)²

Sin²=(B*t)²

-p=C*t

cos²+sin²=t²(A²+B²),t²=1/A²+B²,t=sqrt(1/A²+B²).Sign t= - sign C

Чтобы найти нормальноеуравнениепрямой нужнообщее ур-е умножитьна t.

Аtх+Bty+Ct=0,t-нормирующиймножитель.

7. Система:x=et+x₁ иy=mt+y₁

НОРМАЛЬНОЕУРАВНЕНИЕПРЯМОЙ. Расстояниеот точки допрямой.

1.xcos+ysin-P=0

 -угол междувектором ОРи положительнымнапр. оси ОХ.

Задача:записать ур-епрямой , еслиизветны Р и 

Задача:прямая заданаобщим ур-ем.Перейти к норм.виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к.уравненияопределяютодну прямую,то сущ. коэфф.пропорциональности.

Cos²=(A*t)²

Sin²=(B*t)²

-p=C*t

cos²+sin²=t²(A²+B²),t²=1/A²+B²,t=sqrt(1/A²+B²).Sign t= - sign C

Чтобы найти нормальноеуравнениепрямой нужнообщее ур-е умножитьна t.

Аtх+Bty+Ct=0,t-нормирующиймножитель.

ГИПЕРБОЛА.

Каноническоеуравнение:

x²c²-2a²xc+a²=a²(x²-2xc+c²+y²)

x²(c²-a²)-a²y²=a²(c²-a²)

c²-a²=b²

x²b²-a²y²=a²b²

- каноническоеур-е гиперболы

ПАРАБОЛА.

Каноническоеуравнение:

|DF|=p, М– произвольнаяточка параболы;К – точка надиректрисе;МF=r; MK=d;

r=sqrt((x-p/2)²+y²);d=p/2+x

Приравниваеми получаем:

y²=2px-каноническоеуравнениепараболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТИ ДИРЕКТРИСАЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

1.Определение:эксцентриситет– величинаравная отношениюс к а.

е=с/а

еэллипсв c)

египерболы >1(т.к. с>a)

Определение:окружность– эллипс у которогоа=b, с=0, е=0.

Выразимэксцентриситетычерез а и b:

еэллипса являетсямерой его«вытянутости»

египерболыхарактеризуетугол растворамежду асимптотами

D₁:x= - a/e

D₂:x= a/e

р=а(1-е²)/е– для эллипса

р=а(е²-1)/е– для гиперболы

ТЕОРЕМАОБ ОТНОШЕНИИРАССТОЯНИЙ.2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ,ПАРАБОЛЫ.

Доказательство:для эллипса.

r₁/d₁=e

x|a|,xe+a>0

r₁=xe+a

d₁– расстояниеот М(x,y) до прямойD₁

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б_м=-x-a/e

d₁=-б_м(минус, т.к. прямаяи точка по однустороно о началакоорд.)

ПОЛЯРНОЕУРАВНЕНИЕЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ,ПАРАБОЛЫ.

Пустьзадан эллипс,парабола илиправая ветвьгиперболы.

r= 

d=p+cos

e=/p+cos

- полярноеуравнениеэллипса, параболыи правой ветвигиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯК КРИВОЙ 2-ГОПОРЯДКА.

у-у₀=y’(x₀)(x-x₀)

Рассмотримкасательнуюк кривой

следовательно

ya²y₀-a²y₀²+b²x₀x-b²x₀²=0

- уравнениекасательнойк эллипсу.

- уравнениекасательнойк гиперболе.

- уравнениекасательнойк параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕДЕКАРТОВЫХПРЯМОУГОЛЬНЫХКООРДИНАТ НАПЛОСКОСТИ.

Преобразованиена плоскостиесть применениепреобразованийпараллельногопереноса иповорота.

(е₁;е₁’)=cosu

(е₁;е₂’)=cos(90+u)= -sin u

(е₂;е₁’)=cos(90-u)=sin u

(е₂;е₂’)=cosu

Базисрассматриваетсяортонормированный:

(е₁;е₁’)=(е₁,₁₁е₁+₁₂е₂)=₁₁

(е₁;е₂’)=(е₁,₂₁е₁+₂₂е₂)=₂₁

(е₂;е₁’)=₁₂

(е₂;е₂’)=₂₂

Приравниваем:

₁₁=cosu

₂₁=- sin u

₁₂=sinu

₂₂=cosu

Получаем:

x=a+x’cosu – y’sin u

y=b+x’sinu – y’cos u- формулыповорота системыкоординат наугол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’-формулы параллельногопереноса

ИНВАРИАНТЫУРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ2-ГО ПОРЯДКА.

Вывод:при преобразованиисистемы координат3 величины остаютсянеизменными,поэтому онихарактеризуютлинию.

Определение:

I₂>0– элиптическийтип

I₂

I₂=0– параболическийтип

ЦЕНТРЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пустьзадана на плоскостилиния уравнением(1).

Параллельныйперенос:

a₁₁x’²+2a₁₂x’y’+a₂₂y’²+a’₃₃=0(2)

точкаО’ находитсяиз условия:a₁₃’=0 иa₂₃’=0.

Получаетсясистема a₁₁x₀+a₁₂y₀+a₁₃=0и a₁₂x₀+a₂₂y₀+a₂₃=0

Ноточка О’ существуетесли знаменателиу x₀ иy₀ отличныот нуля.

ТочкаO’ – единственнаяточка.

Поворот:

,после такогопреобразованияуравнениепринимает вид

a₁₁’x’²+a₂₂’y’²+2a₁₃’x’+2a₂₃’y’+a₃₃’=0(3)

ТЕОРЕМАО ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГОТИПА.

Доказательство:

1. пустьI₂>0, I₁>0,I₃

а₁₁’’x’’²+a₂₂’’y’’²=-I₃/I₂

I₂=a₁₁’’a₂₂’’> 0

I₁=a₁₁’’+a₂₂’’> 0

a₁₁’’> 0;a₂₂’’> 0

Итак,под корнямистоят положительныечисла, следовательно,уравнениеэллипса.

3. I₃=0в данном случает(0,0) – случайвырожденияэллипса.

ТЕОРЕМАО ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГОТИПА.

Доказательство:I₂2=a₁₁’’a₂₂’’11’’>0;a₂₂’’

ПустьI₃>0

Вданном случаемы имеем гиперболус действительнойосью ОХ.

ПустьI₃

-(-а₁₁’’)x’’²+a₂₂’’y’’²=-I₃/I₂

В этомслучае мы имеемгиперболу сдействительнойосью ОY

ПустьI₃=0

а₁₁’’x’’²-(-a₂₂’’)y’’²=0

АСИМПТОТИЧЕСКИЕНАПРАВЛЕНИЯКРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.

(,)– вектор асимптотическогонаправления.

a₁₁²+2a₁₂+a₂₂²=0(*)

Рассмотрим(’,’)параллельный(,):

следовательно

.Дробь /характеризуетвектор асимптотическогонаправления.

Задача:выяснить какиеасимптотическиенаправленияимеют кривые2-го порядка.

Найдемасимптотическиенаправленияу гиперболы:

(,)₁=(a,b)

(,)₂=(-a,b)

Векторыасимптотическогонаправленияявляютсянаправляющимивекторами дляасимптот.

Итак:гипербола имеетдва асимптотическихнаправления,которые определяютсяасимптотамигиперболы.

Найдемасимптотическиенаправленияу параболы:

y²=2px

y²-2px=0

u(x,y)= y²+0,y=0

(,)=(0,0)

РАЗЛИЧНЫЕУРАВНЕНИЯПЛОСКОСТИ.

Пустьзадано трехмерноепространство.

Теорема:Вектор n(A, B, C) ортоганаленплоскости,задаваемойобщим уравнением.

Векторn – нормальныйвектор плоскости.

2. Уравнениеплоскости вотрезках:

3. Уравнениеплоскости,определеннойнормальнымвектором иточкой.

Пустьn(A,B,C) и М(x₀;y₀;z₀).Запишем ур-епл-ти:

Ax+By+Cz+D=0

Ax₀+By₀+Cz₀=-D

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

Уравнениеплоскости ч/з3 точки.

Пустьизвестны триточки не принадл.одной прямой.

М₁(x₁;y₁;z₁);М₂(x₂;y₂;z₂);М₃(x₃;y₃;z₃)

ПустьМ(x;y;z) – произвольнаяточка плоскости.Т.к. точки принадл.одной плоскостито векторыкомпланарны.

М₁Мx-x₁y-y₁z-z₁

М₁М₂x₂-x₁y₂-y₁z₂-z₁=0

М₁М₃x₃-x₁y₃-y₁z₃-z₁

Параметрическоеур-е плоскости.

РАССТОЯНИЕОТ ТОЧКИ ДОПЛОСКОСТИ.

Ax+By+Cz+D=0;M₀(x₀;y₀;z₀)

ВЗАИМНОЕРАСПОЛОЖЕНИЕПЛОСКОСТЕЙВ ПРОСТРАНСТВЕ.

Пучкии связки плоскостей.

Определение:пучком плоскостейназываетсясовокупностьплоскостей,проходящихч/з одну и туже прямую.

Чтобы задать пучокплоскостейд.б. определеныдве плоскости

Условиядля плоскостей:

1. n₁параллеленn₂

- параллельности.

2.A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0– перпендикулярности.

3.пересечениятрех плоскостейв одной точке:

Пустьзаданы триплоскости:система: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0;A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0;A₃x+B₃y+C₃z+D₃=0

46406.3.1287352076.doc

ЛИНЕЙНАЯЗАВИСИМОСТЬВЕКТОРОВ.

Пустьзадана системавекторов а₁,а₂, а₃,…,а_л(1) одной размерности.

Свойства

Еслисистема векторовсодержит нулевойвектор, то оналинейно зависима
Еслисистема векторовсодержитлинейно-зависимуюподсистемувекторов, тоона будетлинейно-зависимой.
Еслисистема векторовлинейно-независима,то и любая ееподсистемабудет линейнонезависимой.
Еслисистема векторовсодержит хотябы один вектор,являющийсялинейной комбинациейдругих векторов,то эта системавекторов будетлинейно зависимой.

Определение:два вектораназываютсяколлинеарными,если они лежатна параллельныхпрямых.

Определение:три вектораназываютсякомпланарными,если они лежатв параллельныхплоскостях.

Теорема:Для того чтобы два векторабыли линейно-зависимынеобходимои достаточно,что бы они быликоллениарны.

Дано:a, b, c – линейно-зависимы.Доказать: a,b, c – компланарны.Доказательство:т.к. векторылинейно-зависимы,то а+b+c=0,0.с= - /*а- /*b.с-диагональпараллелограмма,поэтому a,b, c лежат в однойплоскости.

БАЗИССИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ.РАЗЛИЧНЫЕСИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

Вмножествевекторов напрямой базиссостоит изодного ненулевоговектора.

Вкачестве базисамножествавекторов наплоскости можновзять произвольнуюпару.

Вмножествевекторов втрехмерномпространствебазис состоитиз трех некомпланарныхвекторов.

СКАЛЯРНОЕПРОИЗВЕДЕНИЕВЕКТОРОВ.

(а,b)=|a||b| cos u, u90, пр-е отриц.

Свойства:

(а,b)=(b,а)
(а,b)=(а,b)
(а+b,с)=(а,с)+ (b,с)
(а,а)=|a|²– скал.квадрат.

Определение:два вектораназываютсяортоганальными,когда скалярноепр-е равно 0.

Определение:вектор называетсянормированным,если его скал.кв.равен1.

Теорема:Если векторыа и bзаданы координатамив ортонормированномбазисе, то ихскалярноепроизведениеравно суммепроизведенийсоответствующихкоординат.

Найдемформулу угламежду векторамипо определениюскалярногопроизведения.cosu=a,b/|a||b|=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂/sqrt(x₁²+y₁²+z₁²)*sqrt(x₂²+y₂²+z₂²)

ВЕКТОРНОЕПРОИЗВЕДЕНИЕВЕКТОРОВ.

Определение:векторнымпроизведениемдвух векторовa иb обозначаемым[a,b]называетсявектор с удовлетворяющийслед. требованиям:1. |c|=|a||b|sin u.2. (с,а)=0 и (с,b)=0.3. а, b, собразуют правуютройку.

Свойства:

[a,b]= - [b,a]
[а,b]=[а,b]
[a+b,c]=[a,c]+[b,c]
[a,a]=0

Теорема:Длина векторногопроизведениявекторов равнаплощади параллелограммапостроенногона этих векторах.

Доказательство:справедливостьтеоремы вытекаетиз первоготребованияопределениявекторногопроизведения.

Теорема:Пусть векторыа и bзаданы координатамив ортонормированномбазисе, тогдавекторноепроизведениеравно определителютретьего порядкав первой строкекоторого наход-сябазисны векторы,во второй –координатыпервого вектора,в третьей –координатывторого.

Определение:ортой вектораа называетсявектор ед. длиныимеющий одинаковоенаправлениес вектором а.e_a=a/|a|

РАЗЛИЧНЫЕУРАВНЕНИЯПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.

Ах+By+C=0(1), где A, B одновр.неравны нулю.

Теорема:n(A,B) ортоганаленпрямой заданнойур-ем (1).

Доказательство:подставимкоорд. т.М₀в ур-е (1) и получимАх₀+By₀+C=0(1’). Вычтем(1)-(1’)получим А(х-х₀)+B(y-y₀)=0,n(A,B),М₀М(х-х₀,y-y₀).Слева в полученномравенствезаписано скалярноепроизведениевекторов, оноравно 0, значитn и M₀Mортоганальны.Т.о. nортоганленпрямой. Векторn(A,B) называетсянормальнымвектором прямой.

Определение:если хотя быодин из коэффициентовв ур-ии (1) =0, то ур-еназываетсянеполным.

1.С=0,Ах+By=0– проходит ч/з(0,0)

2.С=0, А=0,By=0, значиту=0

3. С=0,B=0,Ах=0, значитх=0

4. А=0, By+C=0,паралл. ОХ

5.B=0,Ах+C=0,паралл. OY

x/a+y/b=1.

Геом.смысл:прямая отсекаетна осях координатотрезки а и b

x-x₁/e=y-y₁/m

Пустьна прямой заданаточка и напр.вектор прямой (паралл.пр.).Возьмем напрямой произв.точки. qиM₁М(х-х₁;y-y₁)

x-x₁/x₂-x₁=y-y₁/y₂-y₁

y=kb+b.

u– уголнаклона прямой.Tg угланаклона называетсяугловым коэффициентомпрямой k=tgu

Пустьпрямая заданав каноническомвиде. Найдемугловой коэффициентпрямой tgu = m/e. Тогдавидим x-x₁/e/e=y-y₁/m/e.y-y₁=k(x-x₁)при y₁-kx₁=b,y=kx+b

xcos+ysin-P=0

 -угол междувектором ОРи положительнымнапр. оси ОХ.

Задача:записать ур-епрямой , еслиизветны Р и 

Решение:Выделим напрямой ОР векторед. длины n.|n|=1,n(cos,sin).Пусть М(x,y)– произв.точкапрямой. Рассмотримдва вектораn иОМ. Найдем двумяспособвамиих скал.произведение.1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р.2. ОМ*n=cosx+siny.Приравняемправые части.

Задача:прямая заданаобщим ур-ем.Перейти к норм.виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравненияопределяютодну прямую,то сущ. коэфф.пропорциональности.

Cos²=(A*t)²

Sin²=(B*t)²

-p=C*t

cos²+sin²=t²(A²+B²),t²=1/A²+B²,t=sqrt(1/A²+B²).Sign t= - sign C

Чтобы найти нормальноеуравнениепрямой нужнообщее ур-е умножитьна t.

Аtх+Bty+Ct=0,t-нормирующиймножитель.

7. Система:x=et+x₁и y=mt+y₁

НОРМАЛЬНОЕУРАВНЕНИЕПРЯМОЙ. Расстояниеот точки допрямой.

1.xcos+ysin-P=0

 -угол междувектором ОРи положительнымнапр. оси ОХ.

Задача:записать ур-епрямой , еслиизветны Р и 

Решение:Выделим напрямой ОР векторед. длины n.|n|=1,n(cos,sin).Пусть М(x,y)– произв.точкапрямой. Рассмотримдва вектораn иОМ. Найдем двумяспособвамиих скал.произведение.1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р.2. ОМ*n=cosx+siny.Приравняемправые части.

Задача:прямая заданаобщим ур-ем.Перейти к норм.виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравненияопределяютодну прямую,то сущ. коэфф.пропорциональности.

Cos²=(A*t)²

Sin²=(B*t)²

-p=C*t

cos²+sin²=t²(A²+B²),t²=1/A²+B²,t=sqrt(1/A²+B²).Sign t= - sign C

Чтобы найти нормальноеуравнениепрямой нужнообщее ур-е умножитьна t.

Аtх+Bty+Ct=0,t-нормирующиймножитель.

2.Обозначим d– расстояниеот точки допрямой, а ч/з б– отклонениеточки от прямой.б=d,если нач.коорд.и точка по разныестороны;= - d,если нач.коорд.и точка по однусторону.

ГИПЕРБОЛА.

Каноническоеуравнение:

Будемсчитать, чтофокусы гиперболынаходятся наОХ на одинаковомрасстоянииот начала координат.|F₁F₂|=2c,М – произвольнаяточка гиперболы.r₁,r2 – расстоянияот М до фокусов;
|r₂-r₁|=2a;a

x²c²-2a²xc+a²=a²(x²-2xc+c²+y²)

x²(c²-a²)-a²y²=a²(c²-a²)

c²-a²=b²

x²b²-a²y²=a²b²

- каноническоеур-е гиперболы

ПАРАБОЛА.

Каноническоеуравнение:

|DF|=p,М – произвольнаяточка параболы;К – точкана директрисе;МF=r; MK=d;

r=sqrt((x-p/2)²+y²);d=p/2+x

Приравниваеми получаем:

y²=2px-каноническоеуравнениепараболы

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТИ ДИРЕКТРИСАЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.

1.Определение:эксцентриситет– величинаравная отношениюс к а.

е=с/а

еэллипсв c)

египерболы >1(т.к. с>a)

Определение:окружность– эллипс у которогоа=b,с=0, е=0.

Выразимэксцентриситетычерез а и b:

еэллипса являетсямерой его«вытянутости»

египерболыхарактеризуетугол растворамежду асимптотами

2.ДиректрисойDэллипса(гиперболы),соответствующейфокусу F,называетсяпрямая расположеннаяв полуплоскостиперпендикулярнобольшой осиэллипса и отстоящийот его центрана расстоянииа/е>a (а/е

D₁:x= - a/e

D₂:x= a/e

р=а(1-е²)/е– для эллипса

р=а(е²-1)/е– для гиперболы

ТЕОРЕМАОБ ОТНОШЕНИИРАССТОЯНИЙ.2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ,ПАРАБОЛЫ.

Доказательство:для эллипса.

r₁/d₁=e

x|a|,xe+a>0

r₁=xe+a

d₁– расстояниеот М(x,y)до прямой D₁

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б_м=-x-a/e

d₁=-б_м(минус, т.к.прямая и точкапо одну стороноо начала коорд.)

ПОЛЯРНОЕУРАВНЕНИЕЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ,ПАРАБОЛЫ.

Пустьзадан эллипс,парабола илиправая ветвьгиперболы.

r=

d=p+cos

e=/p+cos

- полярноеуравнениеэллипса, параболыи правой ветвигиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯК КРИВОЙ 2-ГОПОРЯДКА.

Пустьзадан эллипсв каноническомвиде. Найдемуравнениекасательнойк нему, проходящейчерез М₀(x₀;y₀)– точкакасания, онапринадлежитэллипсу значитсправедливо:

у-у₀=y’(x₀)(x-x₀)

Рассмотримкасательнуюк кривой

следовательно

ya²y₀-a²y₀²+b²x₀x-b²x₀²=0

- уравнениекасательнойк эллипсу.

- уравнениекасательнойк гиперболе.

- уравнениекасательнойк параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕДЕКАРТОВЫХПРЯМОУГОЛЬНЫХКООРДИНАТ НАПЛОСКОСТИ.

Преобразованиена плоскостиесть применениепреобразованийпараллельногопереноса иповорота.

(е₁;е₁’)=cosu

(е₁;е₂’)=cos(90+u)= -sin u

(е₂;е₁’)=cos(90-u)=sin u

(е₂;е₂’)=cosu

Базисрассматриваетсяортонормированный:

(е₁;е₁’)=(е₁,₁₁е₁+₁₂е₂)=₁₁

(е₁;е₂’)=(е₁,₂₁е₁+₂₂е₂)=₂₁

(е₂;е₁’)=₁₂

(е₂;е₂’)=₂₂

Приравниваем:

₁₁=cosu

₂₁=- sin u

₁₂=sinu

₂₂=cosu

Получаем:

x=a+x’cos u –y’sin u

y=b+x’sinu – y’cos u- формулыповорота системыкоординат наугол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’-формулыпараллельногопереноса

ИНВАРИАНТЫУРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ2-ГО ПОРЯДКА.

Вывод:при преобразованиисистемы координат3 величины остаютсянеизменными,поэтому онихарактеризуютлинию.

Определение:

I₂>0– элиптическийтип

I₂

I₂=0– параболическийтип

ЦЕНТРЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пустьзадана на плоскостилиния уравнением(1).

Параллельныйперенос:

Параллельноперенесемсистему XOYна вектор OO’т.о. что бы в системеX’O’Y’коэфф. приx’ иy’ преобразованногоуравнениякривой оказалисьравными нулю.После этого:

a₁₁x’²+2a₁₂x’y’+a₂₂y’²+a’₃₃=0(2)

точкаО’находится изусловия: a₁₃’=0и a₂₃’=0.

Получаетсясистема a₁₁x₀+a₁₂y₀+a₁₃=0и a₁₂x₀+a₂₂y₀+a₂₃=0

Ноточка О’существуетесли знаменателиу x₀иy₀отличныот нуля.

ТочкаO’– единственнаяточка.

Центрсимметриикривой существуетесли I₂0т.е. центрсимметрии имеютлинии элиптическогои гиперболическоготипа

Поворот:

Пустьсистема XOYповернута науголu. В новойсистеме координатуравнение несодержит членас x’y’т.е. мы делаемкоэфф. а₁₂=0.a₁₂’=-0,5(a₁₁-a₂₂)sin2u+a₁₂cos2u=0(разделимна sin2u),получим:

,после такогопреобразованияуравнениепринимает вид

a₁₁’x’²+a₂₂’y’²+2a₁₃’x’+2a₂₃’y’+a₃₃’=0(3)

ТЕОРЕМАО ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГОТИПА.

Теорема:Пусть заданалиния элиптическоготипа т.е. I₂>0и пусть I₁>0следовательноуравнение (1)определяет:1. I₃3=0– точка;3. I₃>0– ур-е (1) неопределяет.Если I₃=0говорят, чтоэллипс вырождаетсяв точку. ЕслиI₃>0говорят, чтозадается мнимыйэллипс. Пустьпосле ПП и поворотаур-е (1) принимаетвид (*).

Доказательство:

1.пусть I₂>0,I₁>0,I₃

а₁₁’’x’’²+a₂₂’’y’’²=-I₃/I₂

I₂=a₁₁’’a₂₂’’> 0

I₁=a₁₁’’+a₂₂’’> 0

a₁₁’’> 0;a₂₂’’> 0

Итак,под корнямистоят положительныечисла, следовательно,уравнениеэллипса.

3.I₃=0в данном случает(0,0) – случайвырожденияэллипса.

ТЕОРЕМАО ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГОТИПА.

Доказательство:I₂2=a₁₁’’a₂₂’’11’’>0;a₂₂’’

ПустьI₃>0

Вданном случаемы имеем гиперболус действительнойосью ОХ.

ПустьI₃

-(-а₁₁’’)x’’²+a₂₂’’y’’²=-I₃/I₂

В этомслучае мы имеемгиперболу сдействительнойосью ОY

ПустьI₃=0

а₁₁’’x’’²-(-a₂₂’’)y’’²=0

АСИМПТОТИЧЕСКИЕНАПРАВЛЕНИЯКРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.

(,)– вектор асимптотическогонаправления.

a₁₁²+2a₁₂+a₂₂²=0(*)

Рассмотрим(’,’)параллельный(,):

следовательно

.Дробь /характеризуетвектор асимптотическогонаправления.

Задача:выяснить какиеасимптотическиенаправленияимеют кривые2-го порядка.

Найдемасимптотическиенаправленияу гиперболы:

(,)₁=(a,b)

(,)₂=(-a,b)

Векторыасимптотическогонаправленияявляютсянаправляющимивекторами дляасимптот.

Итак:гипербола имеетдва асимптотическихнаправления,которые определяютсяасимптотамигиперболы.

Найдемасимптотическиенаправленияу параболы:

y²=2px

y²-2px=0

u(x,y)=y²+0,y=0

(,)=(0,0)

РАЗЛИЧНЫЕУРАВНЕНИЯПЛОСКОСТИ.

Пустьзадано трехмерноепространство.

Теорема:Плоскость вафинной системекоординатзадается уравнениемпервой степениот трех переменных:Ax+By+Cz+D=0,где A,B,C0одновреенно.Справедливаи обратнаятеорема.

Теорема:Вектор n(A,B, C) ортоганаленплоскости,задаваемойобщим уравнением.

Векторn –нормальныйвектор плоскости.

2. Уравнениеплоскости вотрезках:

3. Уравнениеплоскости,определеннойнормальнымвектором иточкой.

Пустьn(A,B,C) иМ(x₀;y₀;z₀).Запишем ур-епл-ти:

Ax+By+Cz+D=0

Ax₀+By₀+Cz₀=-D

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

Уравнениеплоскости ч/з3 точки.

Пустьизвестны триточки не принадл.одной прямой.

М₁(x₁;y₁;z₁);М₂(x₂;y₂;z₂);М₃(x₃;y₃;z₃)

ПустьМ(x;y;z)– произвольнаяточка плоскости.Т.к. точки принадл.одной плоскостито векторыкомпланарны.

М₁Мx-x₁y-y₁z-z₁

М₁М₂x₂-x₁y₂-y₁z₂-z₁=0

М₁М₃x₃-x₁y₃-y₁z₃-z₁

Параметрическоеур-е плоскости.

Пустьплоскостьопределенаточкой и паройнекомпланарныхвекторов.V(V₁;V₂;V₃);U(U₁;U₂;U₃);M₀(x₀;y₀;z₀),тогдаплостость имеетвид: система:x=x₀+V₁t+U₁sи y=y₀+V₂t+U₂sи z=z₀+V₃t+U₃s

РАССТОЯНИЕОТ ТОЧКИ ДОПЛОСКОСТИ.

Ax+By+Cz+D=0;M₀(x₀;y₀;z₀)

ВЗАИМНОЕРАСПОЛОЖЕНИЕПЛОСКОСТЕЙВ ПРОСТРАНСТВЕ.