§1. Обоснование необходимости обобщения понятия
решения дифференциального уравнения.
Определение1. Решением дифференциального уравнения
=
с непрерывной правой частью называется функция
, которая всюду на данном интервале имеет производную и удовлетворяет этому уравнению.Для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями такое определение непригодно, как показывают следующие примеры.
Пример 1.
При
=-1 и решение выражается формулой ; при , решение :Исходя из требования непрерывности решения при
:x(0)=
, . Поэтому решение выражается формулой . При производной не существует.Пример 2.
При
3, решение ,при
, решение : xПри возрастании
каждое решение доходит до прямой 0. Поле направлений не позволяет решению сойти с прямой 0 ни вверх, ни вниз. Если же продолжить решение по этой прямой, то получаемая функция не удовлетворяет уравнению в обычном смысле, т.к. для нее , а правая часть уравнения при равна 1-sign 0=1 0.Кроме этого, уравнение с непрерывной правой частью равносильно интегральному уравнению
В случае, когда f(t,x) разрывна по t и непрерывна по x (пример 1), решением уравнения можно назвать функции, удовлетворяющие интегральному уравнению. В этом случае, решения с одной стороны от S подходят к S, а с другой стороны сходят с S (траектории “прошивают” поверхность):
S
Решение x(t) попадающее при
на поверхность разрыва S, продолжается однозначно на значения и близкие к ; пересекая S решение удовлетворяет уравнению всюду, кроме точки пересечения, в которой решение не имеет производной (в первом примере S – это прямая t=0).В другом случае, когда с обеих сторон поверхности разрыва S решения приближаются к S (траектории “стыкуются” – скользящий режим), это определение решения непригодно, т.к. ничего не говорит о том, как продолжится решение, попавшее на S (пример 2).
Необходимо поэтому было дать такое определение решения, которое охватило бы эти два основных случая и формулировалось бы независимо от расположения линий и поверхностей разрыва.
§2. Определения решения.
Рассмотрим уравнение или систему в векторной записи
, (1)
с кусочно-непрерывной функцией f в области G;
, , M – множество (меры нуль) точек разрыва функции f.Большинство известных определений решения уравнения (1) могут быть изложены следующим образом. Для каждой точки
области G указывается множество в n-мерном пространстве. Если в точке (t,x) функция f непрерывна, то множество состоит из одной точки, совпадающей со значением функции f в этой точке. Если же -точка разрыва функции f, то множество задается тем или иным способом.Определение2. Решением уравнения (1) называется решение дифференциального включения
, (2)
т.е. абсолютно непрерывная вектор-функция x(t), определенная на интервале или отрезке I, для которого почти всюду на I
.
Другими словами, решение дифференциального уравнения (1) определяется как функция, у которой производная
может принимать любые значения из некоторого множества .Иногда (2) называют диф. уравнением с многозначной правой частью. Функцию
называют многозначной функцией, подчеркивая, что значение - множество. Если для всех (t, x) множество состоит из единственной точки, то (2) – обычное диф. уравнение. Функция называется однозначной в точке , если множество F состоит из единственной точки.Одним из наиболее популярных определений решения разрывной системы является определение А.Ф. Филиппова.
А. Выпуклое доопределение.
Применимо, в частности, к системам с малым запаздыванием того или иного рода, а также к некоторым системам с сухим трением.
Для каждой точки
пусть - наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные значения вектор-функции , когда Решением уравнения (1) называется решение включения (2) с только что построенным . Т.к. - множество меры нуль, то при почти всех мера сечения множества плоскостью равна нулю. При таких множество определено для всех . В точках непрерывности функции множество состоит из одной точки и решение удовлетворяет уравнению (1) в обычном смысле. Если же точка лежит на границах сечений двух или нескольких областей , …, плоскостью , то множество есть отрезок, выпуклый многоугольник или многогранник с вершинами , , где