Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (стр. 3 из 9)

= .

Все точки

( = 1, … , содержатся в , но не обязательно, чтобы все они являлись вершинами.

Определение 3.

Вектор-функция

, определенная на интервале называется решением уравнения (1), если она абсолютно непрерывна и если при почти всех для любого вектор принадлежит наименьшему выпуклому замкнутому множеству ( -мерного пространства), содержащему все значения вектор-функции , когда пробегает почти всю -окрестность точки в пространстве X (при фиксированном ), т.е. всю окрестность, кроме множества мера нуль.

Такое определение дает однозначное продолжение решения по поверхности разрыва.

Рассмотрим случай, когда функция

разрывна на гладкой поверхности , задаваемой уравнением . Поверхность S делит свою окрестность в пространстве на области и . Пусть при и приближении к из областей и функция имеет предельные значения

Тогда множество

, о котором говорится в доопределении А, есть отрезок, соединяющий концы векторов и , проведенных из точки .

aЕсли этот отрезок при

лежит по одну сторону от плоскости , касательной к поверхности в точке, то решения при этих переходят с одной стороны поверхности на другую:

Рис. 1.

aЕсли этот отрезок пересекается с плоскостью

, то точка пересечения является концом вектора , определяющего скорость движения

(3)

по поверхности

в пространстве :