Рис. 3.
При этом на касательной плоскости появляются векторы, отличные от
; это приводит к тому, что кроме решения Филиппова появляются и другие решения.Т.о. определение (А) А.Ф. Филиппова соответствует минимальному возможному определению множества F(t, x) среди всех допустимых. Это удобно в том отношении, что для решения в смысле Филиппова чаще, чем в других случаях, имеет место единственность решения.
aЕсли весь отрезок с концами
и 
лежит на плоскости P, то скорость движения 
по поверхности разрыва S определяется неоднозначно.При
, 
имеет место скользящий режим, о котором шла речь во введение. Пусть уравнение идеального скольжения имеет вид (3). Вычисляя 
для 
из условия 
, находим уравнение
, (4)с помощью котрого и доопределяется движение в скользящем режиме (начальные условия для (4) выбираются на поверхности разрыва, т. е. S(x(0))=0).
Пример 3.
Решить систему
Всякое решение этой системы рано или поздно попадает на прямую
и уже не может сойти с нее. Если точка М лежит на оси 
, то в окрестности этой точки вектор 
, компоненты которого - правые части системы, принимает два значения: 
при 
, 
(6,-2) при 
. Отложим из точки М эти два вектора и соединим их концы отрезком АВ: 
Этот отрезок и будет искомым множеством, в котором, согласно определению 3, лежит конец вектора
для точки М. В то же время вектор скорости 
должен лежать на оси . Т.к. решение не может сойти с нее ни вверх, ни вниз, следовательно, конец вектора лежит в точке пересечения отрезка АВ и оси . Т.о., этот вектор определяется однозначно. Легко подсчитать, что 
Т.о., связь теорий уравнений (1) с разрывной правой частью с теорией диф. Включений (2) очевидна. Имея уравнение (1) с разрывной f(t, x) необходимо заменить значение
в точке разрыва 
некоторым множеством. Это множество должно быть ограниченным, выпуклым, замкнутым. Кроме этого оно должно включать все предельные значения 
при (t, x) 
. После такой замены (для любой точки разрыва) вместо (1) получаем диф. включение (2), в котором многозначная функция 
удовлетворяет перечисленным требованиям.Однако, в некоторых случаях множество
в (2) в точках разрыва функции 
нельзя определить, зная только значения функции в точках ее непрерывности.Пример 4.
В механической системе с сухим трением:
, 
масса тела, 
его отклонение, 
упругая сила, 
сила трения, являющаяся нечетной и разрывной при 
=0 функцией скорости 
, 
-внешняя сила. Трение покоя 
может принимать любые значения между [d1] своим наибольшим и наименьшим значениями 
и - . Если = 
, то применимо доопределение 
. Если же > , то движение с нулевой начальной скоростью зависит не только от значений функции в областях ее непрерывности, но и от величины 
. Доопределение А тогда неприменимо. В обоих случаях систему можно записать в виде включения (2). Множество при 
– точка, а при v=0 – отрезок, длина которого зависит от .Следовательно, множество
не всегда определяется предельными значениями функции из (1), и в общем случае это множество надо задавать, используя какие-то сведения о рассматриваемой системе.Необходимость охватить такие системы приводит к следующему способу построения множества F(t,x).
Рассмотрим систему
, (6)где
, вектор-функция 
непрерывна по совокупности аргументов, а скалярные или векторные функции 
разрывны соответсвенно на множествах 
, i=1,…,r, которые могут иметь общие точки и даже совпадать. В каждой точке (t, x) разрыва функции 
задается замкнутое множество 
- множество возможных значений аргумента 
функции 
. Предполагается, что при 
аргументы и 
могут независимо друг от друга пробегать соответственно множества 
и 
. Обычно, это условие выполнено, если функции 
и 
описывают различные независимые составные части (блоки) физической системы. В точках, где функция непрерывна, множество состоит из одной точки . В точках, разрыва функции необходимо, чтобы множество содержало все точки, предельные для точек любой из последовательностей вида 
, где 
k=1,2,…(или 
, где 
k=1,2,…). Потребуем, чтобы множество было выпуклым (если - скалярная функция, то - отрезок или точка).