Смекни!
smekni.com

Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (стр. 5 из 9)

Пусть

(7) множество значений функции
, когда t, x постоянны, а
независимо друг от друга пробегают соответственно множества
.

Определение 4.

Решением диф. уравн. (6) называют решение диф. включения (2), где

(или
, где
- наименьшее выпуклое множество, содержащее множество
).

Частными случаями такого способа построения функции F(t,x) является как доопределение А, так и изложенные ниже Б и В.

Б. Доопределение методом эквивалентного уравнения

(управления).

Применяется к уравнениям вида (6), где f – непрерывная вектор-функция,

- скалярная функция, разрывная только на гладкой поверхности
1,…, r. Допускоются пересечения и даже совпадения этих поверхностей.

В точках, принадлежащих одной или одновременно нескольким поверхноостям, например

,…, Sm (
, полагают (если решение не может сойти тут же с такой поверхности или с пересечения этих поверхностей)

, (8)

где эквивалентные управления

определяются так, чтобы вектор
в (8) касался поверхностей
,…, Sm и чтобы значение
содержалось в отрезке с концами
, где
– предельные значения функции
с обеих сторон поверхности
, i=1,…, m. Т.о., функции
определяются из системы уравнений

.

Определение 5.

Решением (6) называется абсолютно непрерывная вектор-функция, которая вне поверхностей

удовлетворяет уравнению (6), а на этих поверхностях и их пересечениях – уравнениям вида (8) (при почти всех t ).

Например, в случае

конец вектора

лежит на пересечении касательной к S в точке x с дугой abc , которую пробегает конец вектора f(t,x,u), когда u изменяется от
до
:

Рис. 4.

С геометрической точки зрения, метод эквивалентного управления предполаглет замену разрывного управления на границе разрыва, где оно не определено, ненпрерывным управлением, которое направляет вектор скорости в пространстве состояний системы вдоль пересечения поверхностей разрыва. Например, в системе c одной поверхностью разрыва

для нахождения этого вектора в некоторой точке (t, x) нужно построить годограф f(t, x, u), изменяя скалярное управление от
, и найти точку его пересечения с касательной плоскостью. Точка пересечения определяет
диф. уравнения (8) (для r=1 (8) примет вид
).


Уравнение (6), доопределенное указаным образом, сводится к диф. включению

. Множество
определено в (7), где
– отрезок с концами
и
; для тех
, которые непрерывны в точке (t,x),
является точкой
.

Правая часть (8) есть вектор с концом в точке пересечения множества

с касательной к пересечению поверхностей
,…, Sm. На рис. 4 множество
– дуга abc, а правая часть (8) – вектор xb.

Доопределение А было обосновано лишь для скалярного случая (u - скалярная функция) и лишь с помощью предельных переходов для частных случаев неидеальностей, доопределение Б применимо и в случае векторной разрывной динамической системы (т.е. управляющее воздействия приложены к различным точкам объекта и управление u является векторной величиной ), описываемой уравнениями

(9)

x,f - n-мерные векторы-столбцы,

- координаты системы,
- непрерывные функции по всем аргументам (
), u - m-мерный вектор-столбец, каждая компонента которого
претерпевает разрывы на поверхности
:

i=1, …, m,

,
(

),
- непрерывные функции. Если положить
, то
.