Пусть
(7) множество значений функции , когда t, x постоянны, а независимо друг от друга пробегают соответственно множества .
Определение 4.
Решением диф. уравн. (6) называют решение диф. включения (2), где
(или , где - наименьшее выпуклое множество, содержащее множество ).Частными случаями такого способа построения функции F(t,x) является как доопределение А, так и изложенные ниже Б и В.
Б. Доопределение методом эквивалентного уравнения
(управления).
Применяется к уравнениям вида (6), где f – непрерывная вектор-функция,
- скалярная функция, разрывная только на гладкой поверхности 1,…, r. Допускоются пересечения и даже совпадения этих поверхностей.В точках, принадлежащих одной или одновременно нескольким поверхноостям, например
,…, Sm ( , полагают (если решение не может сойти тут же с такой поверхности или с пересечения этих поверхностей), (8)
где эквивалентные управления
определяются так, чтобы вектор в (8) касался поверхностей ,…, Sm и чтобы значение содержалось в отрезке с концами , где – предельные значения функции с обеих сторон поверхности , i=1,…, m. Т.о., функции определяются из системы уравнений.
Определение 5.
Решением (6) называется абсолютно непрерывная вектор-функция, которая вне поверхностей
удовлетворяет уравнению (6), а на этих поверхностях и их пересечениях – уравнениям вида (8) (при почти всех t ).Например, в случае конец вектора
лежит на пересечении касательной к S в точке x с дугой abc , которую пробегает конец вектора f(t,x,u), когда u изменяется от до :Рис. 4.
С геометрической точки зрения, метод эквивалентного управления предполаглет замену разрывного управления на границе разрыва, где оно не определено, ненпрерывным управлением, которое направляет вектор скорости в пространстве состояний системы вдоль пересечения поверхностей разрыва. Например, в системе c одной поверхностью разрыва
для нахождения этого вектора в некоторой точке (t, x) нужно построить годограф f(t, x, u), изменяя скалярное управление от , и найти точку его пересечения с касательной плоскостью. Точка пересечения определяет диф. уравнения (8) (для r=1 (8) примет вид ).