Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (стр. 7 из 9)
Пример 2.
, F(x) – отрезок с концами kx и mx. 
- решение. Для других решений имеем 
При
асимптотически устойчиво,при
устойчиво,при
слабо асимптотически устойчиво,при
неустойчиво.Для диф. уравнений с непрерывной правой частью известны теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости [4]. В работе [17] сформулированы подобные теоремы для разрывных систем (1). Но для таких уравнений функция Ляпунова V(t,x) может не принадлежать
.Для функции
(т.е. имеются непрерывные производныепервого порядка) определяются верхняя и нижняя производные в силу диф. включения (2): 
При почти всех t производная
существует и удовлетворяет включению (2). При этих t существует
(3)Теорема 1.
Пусть в замкнутой области D (
) для всех 
- непустое, ограниченное, замкнутое, выпуклое множество и функция 
-непрерывна по t, x; 
и существуют функции 
, для которых 
.Тогда:
1) Если
в D, то решение 
включения (2) устойчиво.2) Если, кроме того, существуют функции
причем 
, 
, ( 
), 
, то решение 
асимптотически устойчиво.Известные доказательства этих утверждений для диф. уравнений [4] остаются справедливыми и для диф. включений; при этом для оценки сверху функции V(t, x(t)) используют соотношение (3).
Теорема 2.
Если выполнены условия теоремы 1, но с заменой
, то решение 
слабо устойчиво в случае 1) и слабо асимптотически устойчиво в случае 2).Доказательство теоремы 2 приведено в [17].
Рассмотрим теперь случай, когда функция Ляпунова
, но удовлетворяет условию Липшица в окрестности каждой точки области D. Тогда для любой абсолютно непрерывной функции x(t), значит и для любого решения, сложная функция V(t, x(t)) абсолютно непрерывна и почти всюду имеет производную по t. Однако решение может в течение некоторого промежутка времени идти по линии или поверхности, на которой grad V не существует, и производную dV/dt, нельзя, как в случае 
, представить в виде 
Для
:
. (4)В случае функции V(t, x), удовлетворяющей условию Липшица, верхнюю и нижнюю производные
от функции V в силу включения (2) можно определить как sup и inf правой части (4) по всем 
. Тогда теоремы 1и 2 сохраняются.Пример 3.
Если
, то нельзя пренебрегать отысканием dV/dt на линиях поверхностях разрыва функции f(t, x) даже в случае доопределения А. 
Но этого недостаточно для применения теоремы 1, т.к. производные
разрывны на осях координат, т.е. там же, где разрывны правые части системы. На оси Ox при доопределении А: 
, и условия теоремы 1 не выполнены. Тот же результат получается по формуле (4) при h=0: 
. 
Т.к. на оси Ox имеем 
, то решения по оси удаляются от точки (0, 0) со скоростью 1 и решение 
неустойчиво§2. Некоторые сведения теории дифференциальных
уравнений с импульсным воздействием.
При математическом описании эволюции процессов с кратковременными возмущениями часто длительностью возмущения пренебрегают и считают, что эти возмущения носят “мгновенный” характер. Такая идеализация приводит к необходимости исследовать динамические системы с разрывными траекториями или, как их еще называют, диф. уравн. С импульсным воздействием.
Определение таких систем приведено [12], они задаются
а) системой диф. уравн.
(5)б) некоторым множествам Ft, заданным в расширенном фазовом пространстве,
в) оператором At, заданным на множестве Ft и отображающем его на множество
.Сам процесс происходит следующим образом: изображающая точка
, выйдя из точки (t0, x0), движется по кривой {t, x(t)}, определяемой решением x(t) = x(t, t0, x0) системы уравнений (1). Движение по этой кривой осуществляется до момента времени t = t1 > t0, в который точка (t, x(t)), встречается с множеством Ft (попадает в точку множества Ft). В момент времени t = t1 точка Pt “мгновенно” перебрасывается оператором At из положения 
в положение 
и движется дальше по кривой {t, x(t)}, которая описывается решением 
системы уравнений (1). Движение по указанной кривой происходит до момента времени t2 > t1, в которой точка Pt снова встречается с множеством Ft. В этот момент под действием оператора At точка Pt мгновенно перескакивает из положения 
в 
и движется дальше по кривой {t, x(t)}, описываемой решением 
системы уравнений (1), до новой встречи с множеством Ft и т.д.