Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (стр. 8 из 9)
Совокупность соотношений а) – в) называют системой диф. уравнений с импульсным воздействием.
Кривую {t, x(t)} описываемую точкой Pt называют интегральной кривой, а функцию x = x(t), которая задает эту кривую – решением системы (1).
Систему диф. уравнений с импульсным воздействием (совокупность соотношений а)- в)) можно записать в более компактной форме:
(6)Т.о., решение системы уравнений (2)
- это функция, удовлетворяющая уравнению (5) вне множества Ft и имеющая разрывы первого рода в точках Ft со скачками 
- состояние системы до и после скачка в момент времени t1.В зависимости от характера импульсного воздействия выделяют несколько видов таких уравнений. Рассмотрим систему с нефиксированными моментами импульсного воздействия, т.е. системы, подвергающиеся импульсному воздействию в момент попадания изображающей точки Pt на заданные поверхности
расширенного фазового пространства. Тогда система (6) примет вид:
(7)Устойчивость в системах с нефиксированными моментами
импульсного воздействия.
Определение 2.
Решение x(t) системы уравнений (7), определенное при всех t≥t0, называется устойчивым по Ляпунову, если для произвольных чисел
и 
существует такое число 
, что для любого другого решения y(t) уравнений (7) из того 
, что следует, что 
при всех t≥t0 таких, что 
, где 
– моменты пересечения интегральной кривой решения x(t) поверхностей 
.Определение 3.
Решение x(t) системы уравнений (7) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво в определенном выше смысле и если можно указать такое число
, что для любого другого решения этой системы уравнений, удовлетворяющего неравенству 
имеет место предельное равенство: 
.Вопрос исследования устойчивости некоторого решения уравнения (7), как и в случае обыкновенных диф. уравнений, можно свести к вопросу исследования устойчивости тривиального решения некоторой новой системы уравнений с импульсным воздействием. Эта процедура описана в [12], в результате которой получим систему диф. уравн. с импульсным воздействием:
(8)где
т.е. решение x=x(t) системы (7) перешло в положение равновесия системы (8).Вопрос устойчивости нулевого решения системы (8) можно решить с помощью прямого метода Ляпунова (метод функций Ляпунова).
Теорема 3.
Если существует положительно-определенная функция, удовлетворяющая в некоторой области D неравенствами
(9)то тривиальное решение системы уравнений (8) устойчиво.
Если же вместо второго из неравенств (9) потребовать, чтобы выполнялось неравенство
для всех
- непрерывная при 
функция, 
, то нулевое решение уравнений (8) асимптотически устойчиво.Пример 4.
Исследовать вопрос устойчивости нижнего положения маятника, подверженного импульсному воздействию, динамика которого описывается уравнениями:
, 
В качестве функции Ляпунова возьмем полную механическую энергию невозмущенного маятника
находим
.Независимо от свойств поверхностей
выполняются условия теоремы (3), следовательно, нулевое решение исходной системы уравнений устойчиво.§3. Связь рассматриваемых теорий.
Теория систем с разрывной правой частью может быть сведена к теории диф. уравнений с импульсными возмущениями, а именно к системам с нефиксированными моментами импульсного воздействия, определение которых было дано в §2.
Пусть задана система
(10)где функция f(t, x) претерпевает разрыв на поверхности S: S(t, x)=0. Тогда множества
, фигурирующие в определении импульсной системы, для системы (10) примут вид:
где оператор
действует по закону
Если S(t, x)=0 разрешимо относительно t:
, то систему (10) можно записать в виде:
(11)Второе уравнение системы (11) дает возможность решению уравнения (10) сойти с поверхности разрыва. Т.о., диф. уравнения с разрывной правой частью можно подвергнуть импульсному воздействию в момент прохождения изображающей точки поверхности разрыва.
Решение X(t) системы (10), сведенной к системе (11) будет строиться следующим образом. Пусть задано начальное условие
. Тогда для 
функция X(t) совпадает с решением системы (10) при условии 
Для 
функция X(t) совпадает с решением системы (10) при условии 
; для 
– с решением системы (10) при условии 
и т.д. Каждое решение x(t) будет представлять собой непрерывную функцию.Но указанный способ построения решения системы (10) не позволяет доопределить f(t, x) на поверхности разрыва (как при доопределениях А, Б, В), так как осуществляется перескок
через поверхность 
. В этом случае система (10) сводится к диф. включению
(12)где М – множество точек пересечения интегральной кривой поверхностей разрыва
в моменты 
.Тогда решение x(t) (
) диф. включения (12) устойчиво по Ляпунову, если для произвольных чисел 
существует такое число 
, что для любого другого решения 
включения (12) из того, что 
следует, что 
при всех 
таких, что 
, где – моменты пересечения интегральной кривой решения x(t) поверхностей 
.