43. Изобразите правильный шестиугольник, зная, что данная плоскость делит пополам две не параллельные и не смежные его стороны.
44. Дано изображение квадрата АВСВ и точки М на стороне А.В. Постройте изображение прямой, проходящей через А перпендикулярно МО.
45. Дано изображение правильного шестиугольника АВСВЕР. Постройте изображение биссектрис угла: а) АСВ;
б) ВАЕ; в) между АС и ВВ; г) между АС и ВЕ.
46. Чтобы получить изображение правильного восьмиугольника, построили изображение квадрата АВСВ. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересеклись в точке О. Каждый из отрезков, исходящий из точки О, продлили на -г- его длины. Полученные точки и вершины квадрата считали изображением вершин правильного восьмиугольника. Верно ли это? Если да, определите точность построения (рис. 54).
47. АВСВ — изображение квадрата. На сколько нужно продлить в обе стороны отрезки, соединяющие середины каждых двух соседних сторон квадрата, чтобы полученные точки и вершины квадрата оказались изображением вершин правильного двенадцатиугольника?
48. Дано изображение равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность. Укажите на изображении точки касания сторон трапеции с вписанной окружностью.
49. Дано изображение равнобедренного прямоугольного треугольника. Изобразите квадрат, вписанный в этот треугольник так, что две вершины его лежат на гипотенузе, а две — на катетах.
50. Дано изображение равностороннего треугольника. Изобразите квадрат, вписанный в этот треугольник.
51. Дано изображение ромба, у которого одна диагональ равна стороне. Изобразите высоты ромба, проходящие через его центр.
52. Дано изображение прямоугольного треугольника, у которого отношение катетов равно 2 : 3. Постройте изображение серединного перпендикуляра к медиане, проведенной к большему катету.
53. Дано изображение квадрата АВСВ. Постройте изображение равностороннего треугольника АВМ.
54. Дано изображение прямоугольника, у которого отношение двух сторон равно 1 : 2. Постройте изображение серединного перпендикуляра диагонали этого прямоугольника.
Задачи на построение в пространстве
55. Дан пятиугольник АВСВЕ и проекции трех его вершин на плоскости. Постройте проекции остальных вершин.
56. Дан пятиугольник АВСВЕ и проекции трех точек, принадлежащих его сторонам, на плоскость 6. Найдите проекцию пятиугольника на эту плоскость.
57. Дана проекция пятиугольника на плоскость и положение трех его вершин. Найдите положение* остальных вершин.
58. Дана проекция пятиугольника на плоскость б, а также изображения трех точек плоскости пятиугольника, не лежащих на одной прямой, и их проекции на плоскость 6. Постройте изображение пятиугольника.
59. Дана прямая I, пересекающая плоскость б, и точка М, не принадлежащая ни прямой I, ни плоскости 6. Постройте через эту точку ^прямую, которая параллельна плоскости 6 и пересекает прямую I.
60. Даны плоскость 6 и направление лучей света (то есть изображение соответствующей прямой и ее проекции на плоскость 6). Постройте тень данного квадрата АВСВ на эту плоскость (рис. 55).
61. Даны плоскость 6 и -положение точечного источника света М. Построите тень данного треугольника на эту плоскость.
62. Прямая АВ лежит в плоскости б, а прямая СВ пересекает эту плоскость; данная точка М лежит вне этой плоскости (рис. 56). Постройте через точку М прямую, которая пересекает АВ и СВ.
63. Дано изображение куба и направление лучей света. Постройте тень куба на плоскость его основания (рис. 57).
64. Постройте тень куба на плоскость его основания, если дано положение точечного источника света.
65. Основания двух кубов находятся в одной плоскости. Прямая пересекает поверхность бдйбго куба в точках А и 3. В Каких Точках о*га 'пересекает поверхность другого куба?
66. Даны два куба, основания которых находятся на плоскости б, и положение точечного источника света. Как построить тень одного куба на поверхности другого?
Перпендикулярные прямые
67. Биссектрисы двух неравных углов равнобедренного треугольника соответственно параллельны двум биссектрисам углов другого равнобедренного треугольника. Параллельны ли основания этих треугольников?
68. Биссектрисы двух внутренних углов треугольника соответственно параллельны биссектрисам двух внутренних углов другого треугольника. Параллельны ли соответственные биссектрисы внешних углов этих треугольников?
Перпендикуляр к плоскости
69. Сколько различных плоскостей определяют 4 перпендикуляра к одной плоскости?
70. Докажите, что прямые а и b параллельны, если они имеют два общих перпендикуляра.
71. АВСОА\В\С\В\ — куб. Докажите, что любая высота грани АВВ\А \ либо параллельна, либо перпендикулярна
ПЛОСКОСТИ А\В\С1.
72. Докажите, что прямая и плоскость параллельны, если - они имеют общий перпендикуляр.
73. Прямые о и Ъ параллельны, о — перпендикуляр к плоскости 6, Ъ — перпендикуляр к плоскости о. Параллельны ли эти плоскости?
^ (? 74. Плоскость 6 не пересекает трапецию АВСВ. Суммы расстояний концов от плоскости б у обеих диагоналей одинаковы. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна плоскости 6.
75. Прямая, проходящая через середины оснований равнобокой трапеции, перпендикулярна плоскости 6. Как расположена относительно этой плоскости средняя линия трапеции?
76. Одна из диагоналей ромба находится на перпендикуляре I: плоскости 6. Докажите, что вторая диагональ параллельна плоскости 6 или находится на этой плоскости. ,<$ 77. Расстояния вершин А, В, С параллелограмма АВСВ от плоскости 6 равны 7, 20, 11 см. Найдите расстояние от вершины В до этой плоскости.
\ <9 78. Какую фигуру в пространстве образуют все точки, каждая из которых равно удалена от двух данных точек?
79. Какую фигуру образуют все точки, расстояния которых от двух данных параллельных плоскостей относятся, как 1 : З?
80. Какую фигуру образуют все точки, у каждой из которых расстояния от плоскости б и от точки М этой плоскости одинаковы?
^ '^? 81. Точка М находится вне плоскости 6. Одна из сторон треугольника МАВ находится на плоскости 6. Какую фигуру образуют центры масс всех таких треугольников?
82. Прямая I параллельна плоскости 6. Какую фигуру образуют центры всех таких параллелограммов, у каждого из которых одна сторона находится на прямой I, а другая — на плоскости б?
\ <? 83. Треугольники АВС и АВМ — равносторонние, их периметры равны по 18см. Зная, что СМ== Зт/6 см, укажите на рисунке перпендикуляр к плоскости АВС.
84. Два квадрата, периметры которых по 24 см, имеют общую сторону. Расстояние между центрами квадратов 3-\/2 см. Укажите на рисунке перпендикуляры к плоскостям этих квадратов.
85. Два правильных шестиугольника имеют периметры по 48 см. Отрезок АВ — их общая малая диагональ, расстояние между центрами шестиугольников 4-\/2 см. Изобразите шестиугольники и перпендикуляры к их плоскостям.
Перпендикуляр и наклонная
86. Прямая I параллельна плоскости 6. Какую фигуру образуют концы наклонных длины а, проведенных к плоскости 6 из точек прямой /?
^ 87. Из точки М к плоскости, не содержащей эту точку,. проведены наклонные длиной 25 и 40 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости, зная, что сумма проекций наклонных на эту плоскость 39 см.
88. Точка М ^ 6, длины наклонных МА и МВ 30 и 25 см.. Определите расстояние от точки М до плоскости 6, зная, что разность проекций наклонных на эту плоскость 11 см. •: ^.89. К плоскости 6 из точки М, не лежащей в этой плоскости, проведены перпендикуляр МО и наклонные МА и МВ. Зная, что 4 АМВ = 60°, 4 АМО == /- ВМО = 45°, найдите градусную меру угла между проекциями наклонных.
90. Плоскость проходит через основание трапеции на расстоянии 8 см от точки пересечения диагоналей. Найдите отношение длин оснований этой трапеции.
91 Вершины треугольника удалены от плоскости 6, не пересекающей его, на 7, 15, 19см. Найдите расстояния от середин медиан треугольника до плоскости 6.
92. Б треугольнике АВС ^ А = /- В = 30°. Найдите на плоскости АВВ точку с наименьшей суммой расстоянии от вершин треугольника.
93. Концы отрезков АВ и СО лежат на плоскостях б и а, причем точки А -а С находятся на одной плоскости, а точки В и О—на другой. АВ = 9 см, СВ = 15 см, АС == 7 см, ВВ =11 см, отрезок АВ перпендикулярен плоскостям 6 и о. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ
94. В треугольнике АВС: АВ = 5 см, А.С = 7 см, ^. 4 = 60°. Его проекция на плоскость, параллельную ВС и проходящую через А,— треугольник с углом 120°. Найдите расстояние от стороны ВС до этой плоскости.
95. Проекция прямоугольного треугольника на плоскость, проходящую через вершину прямого угла параллельно гипотенузе, есть треугольник с углом в 120° и сторонами этого угла 8 и 9 см. Найдите расстояние от этой плоскости до гипотенузы.
96. Плоскость параллельна наибольшей средней линии прямоугольного треугольника АВС. Проекции сторон треугольника на эту плоскость 11, 12, 19 см. Найдите площадь треугольника
АВС. .„п О 97. Через вершину А прямоугольного треугольника А-ас
проходит плоскость 6, которая параллельна гипотенузе ВС и удалена от нее на 24 см. Зная, что ВС = 50 см, а проекции катетов на плоскость 6 относятся , как 9 : 16, найдите площадь
треугольника АВС.
98. В окружность радиуса L вписан равносторонний треугольник АВС, точка M находится вне его плоскости. Докажите,
что MA2 + МБ2 + МС2 == ^(й2 + МО2), где О — центр окружности.