99. МО — перпендикуляр к плоскости, проходящей через
ее точку O. MA = 10 см, MB = 16 см, ^OAM=^2OBM.
Найдите MO.
100. Из точки M, находящейся вне плоскости б, проведены
к этой плоскости перпендикуляр MO и наклонные MAи MB.
Зная, что АО = 33 см, ВО = 8 см, /- АМО = -|- ^ ВМО, найдите МО.
101 Из точки М проведены к плоскости 6 перпендикуляр
МО и наклонные МА, МВ, МС. Проекции МВ и МС меньше проекции МА на 33 и 48см, ^ОАМ : А.ОВМ : ^ОСМ == =1:2:3. Найдите МО.
Теорема о трех перпендикулярах
102. Какую фигуру образуют все точки, равноудаленные от
прямых, содержащих стороны данного треугольника?
103. Какую фигуру образуют все точки, равноудаленные
от трех прямых, находящихся в плоскости б?
104. Катеты прямоугольного треугольника АВС 12 и 16 см. Точка М удалена от каждой из прямых АВ, АС, ВС на 13 см. Найдите ее расстояние от плоскости АВС.
105. Точка М удалена от вершины и сторон прямого угла соответственно на 16, 12, 11 см. Найдите ее расстояние от плоскости прямого угла.
106. На плоскости 6 дан угол в 60°. Точка М удалена от его вершимы на 5. см, а от сторон на 4 и 3 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости названного угла.
107. Основания прямоугольной трапеции 10 и 15 см. Точка М удалена от каждой стороны трапеции на 10 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости трапеции.
108. На плоскости 6 отмечены точки А и В, на. плоскости а — точки С и В так, что АВ == 13 см, СО = 14 см, АС == 8 см, ВВ ==17 см, причем прямая АС перпендикулярна плоскостям 6 и ст. Найдите расстояние между АС и ВВ.
109. Если существует точка, равноудаленная от всех сторон | параллелограмма, то этот параллелограмм — ромб. Докажите.
Перпендикулярные плоскости
110. Какую фигуру образуют все прямые, которые проходят через вершину данного угла (меньше развернутого) и образуют ^ с его сторонами равные углы?
111. Какую фигуру образуют все точки, равноудаленные
от двух данных пересекающихся прямых?
112. Прямоугольник АВСВ, стороны которого 3 и 4 см, перегнули по диагонали АС так, что треугольники АВС и АВС оказались в перпендикулярных плоскостях. Определите расстояние между точками В и В после перегиба.
113. Плоскости » и р перпендикулярны плоскости 6. Докажите, что линия пересечения плоскостей а и р перпендикулярна плоскости 6.
114. Концы отрезка АВ лежат на двух данных взаимно периендикуляриых плоскостях. Опущены перпендикуляры АА 1 и бв[на линию пересечения плоскостей. Здая, что АВ = | = 21 см, АА\ •== 11 см, ВВд == 16 см, найдите а\в[. I > ()
115. Квадраты АВСВ и АВС\В\ имеют площади по 32 см2. Зная, что расстояние между СВ и С\В\ равно 8 см, докажите, что плоскости квадратов взаимно перпендикулярны.
116. Перпендикулярные плоскости пересекаются по прямой I. Отрезок АВ имеет концы на этих плоскостях и образует со своими проекциями углы в 30° и 45е. Найдите угол между направлениями I и АВ.
117. АВСО квадрат, плоскость МАО перпендикулярна плоскости квадрата, ММ \ АО На АВ дана точка Т. Как построить через эту точку прямую, образующую равные углы с АВ и Мт
118. Периметры равносторонних треугольников АВС и АВО равны по 24 см, плоскости треугольников взаимно перпендикулярны. Постройте общий перпендикуляр медиан АО и ОМ этих треугольников и найдите его длину.
119. Плоскости квадрата АВСО и равностороннего треугольника АВМ взаимно перпендикулярны, АВ == а. Постройте общий перпендикуляр прямой АС и медианы МО треугольника и определите длину этого перпендикуляра.
Прямоугольные координаты в пространстве
120. Три вершины ромба находятся в точках (8; 9; 10), (3, 3" 2), (8; 7, 1). Найдите координаты четвертой вершины.
121. Три вершины параллелограмма находятся в точках (3; 1- 8), (4; 7; 1), (3; 5, 8). Найдите координаты четвертой вершины.
122. Середины сторон треугольника находятся в точках ( 2; 5; 1), (1, 3; 4), (2 0; 4). Найдите координаты вершин треугольника.
123. Координаты вершин А, С, Е правильного шестиугольника АВСОЕР: (—3; 7; 5), (7; 2; 1), (2; 3; 6). Найдите координаты остальных вершин и центра шестиугольника.
124. Суммы аппликат противоположных вершин трапеции равны. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна плоскости ху или находится в этой плоскости.
125. Лежат ли на одной прямой точки -А(5; —1; 4), В(4;
3; 1), С(3; 7; —2)?
126. Докажите, что отрезки АВ и СО, концы которых находятся в точках А(»; —1; 4), В(2; 8; 7), С(5; 0; 1), 0(8; 6; 13), пересекаются и при этом делятся в отношении 1:2.
127. На ребрах АА^,В\С^ СО куба АВСОА\В\С\0\ найдите по точке, чтобы сумма квадратов расстояний между этими точками была минимальной.
128. Через точку М(1; 5; 3) проведена прямая, которая параллельна плоскости ху и пересекает отрезок с концами -А(4; 2; 1) и В(7; 11; 7). Определите координаты точки пересечения.
129. Найдите точку с наименьшей суммой квадратов расстояний от точек с координатами (1; 2; 4), (4; 5; 1), (7; 2; 1).
Векторы в пространстве
130. АВСО — прямоугольник, точка М находится вне его плоскости. Докажите, что МА2 + МС2 •==- МВ2 + МО2
131. Точка М находится вне плоскости треугольника АВС, центр масс которого — Т. Точка К делит отрезок МТ так, что МК == 3 КТ. Докажите, что АК + ВК + СК + МК = 0.
132. Если направление АВ образует с направлениями СО, СЕ, ОЕ равные углы, то прямая АВ перпендикулярна плоскости СОЕ. Докажите.
133. Верно ли, что, если М. — центр правильного многоугольника А\АчА^... Ап, то МА\ + МАг + МАз +•••+ МАп == = О?
134. Найдите точку с наименьшей возможной суммой квадратов расстояний от всех вершин данного правильного многоугольника.
135. Точка М отстоит от центра куба АВСОА \В\С\0\ на 7 см. Найдите длину вектора МА + МВ + МС 4- МО + МА ] + + МВ1 + МС\ + М0\. ___
136. По условию задачи 135 найдите длину вектора МР\ +
+ МР2 +-МРз + М?4 + М?5 + МРб, ГДе ?1, ?2, рз, Л, Р^
Ре — центры граней куба.
137. Через центр масс Т треугольника АВС проведена. прямая, на ней отмечены такие точки А\, В\, С\, что аа[|| II ВВ) || СС\. Докажите, что: а) ла) + ВВ1 + СС\ == 0;
б) ТА^ + ТВ, + ТС\ == 0.
138. Докажите, что прямую, проходящую через точки А и В, можно определить, как совокупность точек М, удовлетворяющих условию АМ = р АВ, где —оо<:р<:оо. Какое число р соответствует точке А? Какое число р соответствует точке В? Возможно ли, исходя из векторного задания, получить координатное задание прямой?
139. Докажите, что плоскость, заданную точками А, В, С» можно определить как совокупность точек М, удовлетворяющих условию АМ == р АВ + 0. АС, где — оо < р < оо, — оо <: $ <: оо.
Преобразование фигур в пространстве
140. Точки А и В находятся по одну сторону плоскости 6, на которую спроектированы ортогонально. Найдите на этой плоскости точку с наименьшей возможной суммой расстояний от А и В.
141. Точки М и N находятся на двух боковых гранях куба. Найдите на плоскости основания куба точку с минимальной суммой расстояний от М и N.
142. Точки Л и В находятся по разные стороны плоскости 6, на которую они спроектированы ортогонально. Найдите на этой плоскости точку с наибольшей возможной разностью расстояний от точек А и В.
143. АВСВА\В1С\В\—куб. Точка М находится на грани СВВ\С\, а точка N — на луче А\ А вне куба. Найдите на плоскости АВС точку с наибольшей возможной разностью расстояний от точек М и N.
144. О — центр грани ВСС\В1 куба АВСВА1В\С\В\. Найдите на плоскости АВС все точки, равноудаленные от точек О и А\.
145. Даны точки А(6; О; О), 5(0; 4; 0), С(5; 1; 3). Постройте отрезок с серединой С и концами на прямой АВ и на плоскости хг.
146. Вершины треугольника находятся в точках (2; 3; 4), (5; 1; 8), (8; 10; 3). В результате параллельного переноса вершина наибольшего угла переместилась в центр описанной окружности. Найдите новые координаты вершин треугольника.
147. Выполните параллельный перенос куба АВСВА\В\С\В\, чтобы его вершина А переместилась в центр грани АВСВ.
148. Выполните параллельный перенос куба авсва\в{с\в\, чтобы центр грани АВВ\А\ переместился на середину отрезка АВ.
149. Известно положение вершин А(1; —3; 4), В(3; 1; —1), С(4; 0; 2) параллелограмма АВСВ. Построена фигура, симметричная параллелограмму относительно начала координат. Определите, в какую точку переместилась точка В.
Углы между прямыми
150. Найдите величины углов между диагоналями куба.
151. Дан куб АВСВА\В\С\В\. Постройте прямую, которая образует углы по 60° с прямыми ВС и А \В\.
152. М — середина ребра СС\ куба АВСВА\В\С\В\. Найдите угол между А\М и прямой, которая проходит через точку В и середину отрезка А\М.
153. М — центр грани ВСС\В\ куба. Найдите угол между прямыми А\М и ОМ.
154. Найдите на диагонали ВВ\ куба АВСВА\В\С\В\ такую точку Р, чтобы прямые АР и СР пересекались под прямым углом.
155. Найдите угол между направлениями ва[и В\В\, если отрезки ВА\ и В\В\ — диагонали соответствующих граней куба.
156. По условию задачи 152 найдите угол между направлениями А\М и ВВ\.
Угол между прямой и плоскостью
157. Плоскость, проходящая через сторону квадрата, образует с его диагональю угол в 30°. Найдите угол между этой плоскостью и стороной квадрата, которую она пересекает.
158. АВ — высота прямоугольного треугольника АВС. Плоскость, проходящая через гипотенузу, образует с катетами
углы в 30° и 45°. Найдите величину угла между этой плоскостью и АВ.
159. АВСВ — квадрат, точка М находится вне его плоскости. Углы между прямыми МА, МВ, МС и плоскостью квадрата 45°, 60°, 45°. Найдите угол между прямой МВ и плоскостью АВС.