134. Точки Е и Р находятся на гранях МАВ и МСО правильной четырехугольной пирамиды МАВСО. Постройте равнобокую трапецию, у которой одно основание лежит на основании пирамиды, концы другого — на ребрах МВ и МС, а боковые стороны содержат точки Е и Р.
135. АВСВЕРА\В\С\В\Е\Р\ — правильная призма. Постройте на ее поверхности все точки, принадлежащие плоскости симметрии плоскостей: а)АА\В та СС\Р', б) АА\В и АА\Е; в) АА\В и АА\В; г) АА^В и ВВ\С; д) АА^С и ВВ^Р; е) АА^В и ВВ\Е;
ж) АА ,С и ВВ\Р.
Равенство пространственных фигур
136. Равны ли две треугольные призмы, если три стороны основания и боковое ребро одной равны трем сторонам основания и боковому ребру другой? Если нет, то какое нужно дополнительное условие, чтобы утверждать, что призмы равны?
137. Две пирамиды имеют равные высоты, их общее основание — квадрат АВСО. Докажите, что эти пирамиды равны, если их вершины ортогонально проектируются: а) в точки А и С; б) середины двух сторон квадрата.
138. авсва\в[с\в\ — куб. Докажите, что пирамиды АВСВ\ и 1)В\С\В\ равны.
139. Сформулируйте несколько признаков равенства правильных призм. Обоснуйте эти признаки.
140. Сформулируйте несколько признаков равенства правильных пирамид. Обоснуйте эти признаки.
141. Докажите, что две треугольные призмы равны, если их боковые грани соответственно равны.
142. Равны ли две прямые треугольные призмы, если все диагонали их боковых граней соответственно равны?
143. МАВСВЕР — правильная пирамида. Докажите равенство пирамид: а) МАВС и МВЕР; б) МВСЕ и МАРВ.
144. АВС^ЕРА^В^С^^^Е^Р^ — правильная призма. Равны ли пирамиды: а) С^ВСВ и ЕЕ\В\Р^, б) А^АВР и С\СВЕ;
в) ВАА^В и А^СС^ВЧ
Цилиндр
145. Какую фигуру образуют все точки, удаленные от данной прямой I на. а и равноудаленные от данных точек А и В?
146. Постройте изображение вписанных в окружность правильного восьмиугольника и правильного двенадцатиугольника.
147. Изобразите вписанный в окружность прямоугольный треугольник с отношением катетов 2 : 3.
148. Изобразите две равные хорды окружности, пересекающиеся в данной точке М под прямым углом.
149. Изобразите две равные хорды окружности, пересекающиеся в данной точке М под углом в 60°.
150. Постройте касательную к данному эллипсу в данной точке этого эллипса.
151. Постройте изображения описанных около окружности ромба с углом 45° и равнобокой трапеции с углом 45° при большем основании.
152. Вершины прямоугольника лежат на окружностях оснований цилиндра, у которого радиус 13 см, а образующая 32 см. Зная, что стороны прямоугольника относятся, как 1 : 4, найдите его площадь.
153. Диагональ осевого сечения цилиндра равна сумме его радиуса и высоты. Найдите отношение сторон осевого сечения цилиндра.
154. Диаметр барабана лебедки 530 мм, его длина 727 мм. За время работы на барабан наматывается 225 м троса диаметра 17 мм. Во сколько слоев наматывается трос?
155. Около данного цилиндра опишите правильную четырехугольную пирамиду, высота которой вдвое больше высоты цилиндра.
156. Высота и основание равнобедренного треугольника 8 и 6 см. Цилиндр касается всех сторон треугольника, его образующие наклонены к плоскости треугольника под углами по 30°. Найдите радиус цилиндра.
157. Найдите радиус равностороннего цилиндра, у которого ось лежит на диагонали куба с ребром а, а каждая из окружностей оснований касается трех граней куба, имеющих общую вершину.
Конус
158. В равносторонний конус, образующая которого I, вписана правильная шестиугольная призма, боковая грань которой — квадрат. Найдите площади диагональных сечений призмы.
159. Диагональ октаэдра с ребром а является высотой конуса, на поверхности которого находятся 4 ребра октаэдра (рис. 67). Найдите площадь осевого сечения конуса.
160. Радиус основания конуса 9 см, высота 7 см. Какую наибольшую площадь может иметь сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса?
161. Наибольшая возможная площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса, вдвое больше площади осевого сечения. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса.
162. В конус вписана правильная треугольная призма, все ребра которой равны а. Четыре вершины призмы лежат на
окружности основания, а две на боковой поверхности конуса (рис. 68). Найдите высоту конуса.
163. Ребро куба АВСВА\В\С\В\ равно а. Диагональ АС\ содержит высоту равностороннего конуса с вершиной А. Окружность основания конуса касается трех граней куба с общей точкой С1. Найдите образующую конуса.
164. Основание конуса находится на грани АВСВ куба АВСВА\В\С\В\, у которого ребро а. Вершина конуса находится в центре грани А\В\С\В\. Найдите радиус основания конуса, зная, что боковая поверхность касается прямой, которая проходит через: а) В\ и середину ВС; б) В и середину ВС\; в) середины ВС и ВЁ1 (рис. 69).
Усеченный конус
165. Какую фигуру образуют середины диагоналей всех осевых сечений усеченного конуса?
166. Какую фигуру образуют середины всех отрезков, у каждого из которых концы находятся на окружностях оснований усеченного конуса?
167. Радиусы оснований усеченного конуса 25 и 16 см. В осевое сечение этого усеченного конуса можно вписать окружность. Определите ее радиус.
168. Диагональ осевого сечения усеченного конуса делится
осью усеченного конуса на части в 13 — и 26 — см. Зная,
что образующая усеченного конуса 26 см, найдите радиусы оснований.
169. Два конуса, у которых радиусы оснований 10 и 15 см, имеют общую высоту, их плоскости оснований не совпадают. Найдите длину окружности, по которой пересекаются поверхности этих конусов.
Сфера и шар
170. Какую фигуру образуют основания перпендикуляров, опущенных из данной точки А на все плоскости, проходящие через данную точку В?
171. Из точки М к данному шару можно провести три взаимно перпендикулярные касательные. Какую фигуру образуют все такие точки М?
172. Какую фигуру образуют вое точки, удаленные на о от данной сферы радиуса Ь?
173. Какую фигуру образуют центры всех сфер радиуса В, касающихся: а) данной плоскости 6^ б) двух данных плоскостей?
174. Даны плоскость б и точка М вне ее. Какую фигуру образуют центры сфер радиуса В, которые проходят через точку М и касаются плоскости б?
175. Докажите, что касательные, проведенные из данной точки к данной сфере, имеют равные длины.
176. Плоскость 6 касается шара в точке А. На продолжении диаметра АВ = а взята такая точка С, что ВС == Ь, в ней помещен точечный источник света. Найдите площадь тени шара на плоскость 6.
177. Диаметры АВ, СВ, ЕР сферы взаимно перпендикулярны. Каждый из них разделен на п равных частей, через точки деления проходят плоскости, перпендикулярные к этому диаметру. На сколько частей эти плоскости разделили сферу, если: а) п == 4; б) п == 6; в) п --=- 5; г) п == 8?
178. В шаре радиуса 18 см проведены два взаимно перпендикулярных сечения, радиусы которых откосятся, как 2 : 3. Зная, что общая хорда этих сечений 2 см, найдите площади сечений.
179. В шаре построены два взаимно перпендикулярных сечения, площади которых 185л и 320я см2. Определите радиус шара, если общая хорда этих сечений имеет длину 16 см.
180. Изобразите вписанную в сферу треугольную пирамиду, боковые ребра которой взаимно перпендикулярны.
181. В сферу радиуса Н вписана правильная шестиугольная призма. Радиус сферы, проведенный в вершину призмы, образует с плоскостью боковой грани угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
182. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды — прямой, сторона основания а. Найдите радиус описанной сферы.
183. Докажите, что радиус сферы, описанной около пирами-
ды, у которой высота Н, а каждое боковое ребро I, равен —. т
Установите, при каком соотношении между I и Н центр описанной сферы находится внутри пирамиды.
184. У треугольной пирамиды МАВС: МА == ВС ===16 см, МВ == АС =з 19 см, МС == АВ == 21 см. Определите радиус описанной сферы.
185. Радиусы окружностей, описанных около основания и около боковой грани правильной треугольной пирамиды, 8 и 7 см. Найдите радиус описанной сферы.
186. В прямую четырехугольную призму можно вписать шар. Верно ли, что суммы площадей ее противолежащих боковых граней равны?
187. Скрещивающиеся ребра тетраэдра попарно равны. Докажите, что центры описанной и вписанной сфер совпадают.
188. Все ребра четырехугольной пирамиды равны а. Найдите радиус сферы, которая касается всех ребер пирамиды.
189. Каждое ребро тетраэдра имеет длину а. Найдите радиус сферы, которая касается всех ребер тетраэдра.
190. В конус, у которого радиус основания 9 см, а образующая 15 см, вписан шар. Найдите длину линии, по которой касаются их поверхности.
95
Сфера и ее уравнение
191. Радиусы двух шаров 17 и 25 см. Длина линии, по которой пересекаются поверхности шаров 30л см. Определите расстояние между центрами шаров.
192. Имеется обломок шара. На основании каких построений и измерений вы могли бы определить его радиус?
193. Установите взаимное расположение сфер х2 + у2 + + г2 = 4 и х2 + у2 + г2 - 24ж - 12у + 16г - 168 = 0.
194. Установите взаимное расположение сферы х2 + у2 + 4- 22 == 16 и плоскости 2х — 2у + 2 — 12 == 0.
195. Напишите уравнение сферы, которая проходит через точки (2; 3; 4) и (3; —1; 5) и касается плоскости ху.
Объем прямоугольного параллелепипеда
196. Как, разрезав на две части, сложить куб из прямоугольного параллелепипеда, измерения которого: а) 4, 6, 9 см;