251. Решите задачу 249 для правильной четырехугольной пирамиды.
252. Площади оснований усеченной пирамиды относятся, как 1 : 49. Площадь сечения, параллельного плоскостям оснований, равна полу сумме площадей оснований. Как относятся объемы частей, на которые это сечение разделило усеченную пирамиду?
Объем цилиндра
253. Бездымный порох изготовляется в виде цилиндра, в котором 7 цилиндрических каналов с осями, параллельными оси цилиндра, и радиусами, в 11 раз меньшими радиуса цилиндра (рис. 73). Какая часть пороха сгорит после того, как горение перестанет быть прогрессивным? 100
254. Корыто полуцилиндрической формы наполнено водой. Какая часть воды выльется, если корыто наклонить на 30° так, чтобы образующие цилиндра оставались горизонтальными?
255. Какой из вписанных в данную сферу цилиндров имеет наибольший объем?
Объем конуса
256. А.В == 10 см и СВ •= 14 см— хорды основания конуса, вершина которого М. Плоскости МАВ и МАС наклонены к плоскости основания конуса под углами 30° и 45°. Определите объем конуса.
257. Радиусы оснований и образующая усеченного конуса соответственно равны 5,10,13 см. Построены два конуса, у которых вершины — центры оснований усеченного конуса, а основания совпадают с основаниями усеченного конуса. Найдите объем общей части этих конусов.
258. Около треугольной пирамиды, у которой периметры боковых граней 180, 194, 196 см, описан конус. Зная, что высота конуса лежит на одной из боковых граней пирамиды, определите объем конуса.
259. Образующая конуса I. Какую наибольшую величину может иметь его объем?
Объем тела вращения
260. Равносторонний треугольник периметра Р вращается вокруг прямой, которая находится в плоскости треугольника, проходит через его вершину вне треугольника под углом 15° к его стороне. Определите объем тела вращения.
261. Найдите объем тела, образованного вращением квадрата со стороной а вокруг прямой, которая находится в плоскости квадрата, проходит через его вершину вне квадрата под углом ст к стороне квадрата.
262. Параллелограмм, у которого стороны равны 21 и 89 см, а диагонали относятся, как 41 : 50, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объем тела вращения.
263. Найдите объем тела, образованного вращением ромба со стороной 15 см и отношением диагоналей 3 : 4 вокруг прямой, которая проходит в плоскости ромба через вершину острого угла перпендикулярно стороне ромба.
264. Равнобедренный треугольник с основанием 30 см и высотой 20 см вращается вокруг боковой стороны. Найдите объем тела вращения.
Объем шара и его сегмента
265. Расстояние между центрами трех шаров, которые попарно касаются,— 6, 8, 10 см. Определите объемы этих шаров.
266. Четыре шара радиуса Л расположены так, что каждый касается остальных. Найдите объем шара, который касается всех этих шаров.
267. Найдите объем шара, вписанного в тело, образованное вращением прямоугольного треугольника с катетами 21 и 28 см вокруг гипотенузы.
268. Определите угол при вершине осевого сечения конуса, если отношение объема конуса к объему вписанного шара:
а) 9 : 4; б) 8 : 8.
269. В цилиндр вписан конус, а в конус — шар. Объемы конуса и шара вместе составляют 40 % объема цилиндра. Найдите величину угла при вершине осевого сечения конуса.
270. В цилиндр вписана правильная треугольная пирамида, а в нее — шар. Зная, что объем шара в 24 раза меньше объема цилиндра, найдите плоский угол при вершине пирамиды.
271. Найдите объем шара, вписанного в пирамиду, грани которой лежат на координатных плоскостях и ва плоскости 12з; + Зу + 42 — 24 == 0.
272. В шар вписаны равносторонний цилиндр и равносторонний конус. Докажите, что У^,== -\/Ущ • Уу .
273. Около шара описаны равносторонний цилиндр и равносторонний конус. Докажите, что Уц == "УКи • у» •
274. Докажите, что объем шарового сегмента равен яй2 (л — -з- )> где и — радиус шара, а Н — высота сегмента.
275. В конус, у которого радиус основания 6 см, а образующая 10 см, вписан шар. Через линию касания этих тел проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей, на которые эта плоскость делит шар.
276. Шар радиуса 9 см плавает в воде, высота выступающей из воды части 6 см. Найдите плотность материала, из которого сделан шар.
277. Сосуд в форме полушара наполнен водой. Какая часть воды выльется, если сосуд наклонить на: а) 30°; б) 45°?
278. Высота равностороннего конуса равна Н и является диаметром шара. Найдите объем той части шара, которая лежит вне конуса.
Площадь поверхности цилиндра
279. Все ребра правильной треугольной призмы равны а. Боковые ребра являются осями цилиндрических поверхностей
радиуса -^-. Вычислите площадь поверхности тела, ограниченного названными цилиндрическими поверхностями и основаниями призмы.
102
280. В цилиндр вписана четырехугольная призма, у которой периметры боковых граней 30, 45, 56, 64 см. Зная, что одно из диагональных сечений призмы содержит ось цилиндра, найдите площадь полной поверхности цилиндра.
281. Длина ребра куба а. Ось равностороннего цилиндра лежит на диагонали куба. Каждая окружность основания цилиндра касается трех граней куба. Найдите объем и площадь поверхности цилиндра.
Площадь поверхности конуса
282. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Площади их полных поверхностей относятся, как 7 : 4. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса.
283. В конус вписана четырехугольная пирамида, у которой периметры боковых граней 78, 94, 104, 112 см. Одно из диагональных сечений пирамиды содержит высоту конуса. Найдите площадь поверхности конуса.
284. Квадрат АВСВ площадью 120 см2, согнув, поместили на поверхности конуса. При этом диагональ АС совпала с образующей, а диагональ ВО оказалась на боковой поверхности конуса и концы ее совпали (рис. 74). Определите объем и площадь поверхности конуса.
285. Радиус полушара Н. На основании полушара построен конус, каждая образующая которого делится поверхностью полушара в отношении 1 : 2, считая от вершины. Найдите площадь поверхности этого конуса.
286. В сферу радиуса Л вписан конус наибольшего возможного объема. Определите площадь поверхности этого конуса.
287. Радиус основания конуса Л. Сфера касается основания конуса и делит каждую образующую конуса на три равные части. Найдите площадь поверхности конуса.
Площадь поверхности шара
288. Ребро куба а. Найдите площадь сферы, которая проходит через все вершины одной грани и касается параллельной грани куба.
289. В куб, длина ребра которого а, вписана сфера. Найдите площадь сферы, которая касается вписанной сферы и трех граней куба.
290. Развертка боковой поверхности треугольной пирамиды — квадрат со стороной а. Найдите площадь сферы, вписанной в эту пирамиду.
291. Докажите, что площадь сферической поверхности шарового сегмента 8 == 2этЛН, где Л — радиус шара, а Н — высота сегмента.
292. Высота правильного тетраэдра Н = 12 см. Точка, равноудаленная от всех вершин тетраэдра, является центром сферы радиуса 4 см. Определите площадь той части сферы, которая находится внутри тетраэдра.
293. Радиусы двух шаров а и 2а. Центр меньшего шара находится на поверхности большего. Найдите объем и площадь поверхности общей части этих шаров.
294. Около сферы описана правильная шестиугольная призма. Через боковое ребро призмы проведена плоскость, разделившая призму на части с отношением объемов 1 : 5. Как относятся площади частей, на которые эта плоскость разделила сферу?
295. Около сферы описана правильная треугольная призма. Через боковое ребро призмы проходит плоскость, которая делит призму на части с отношением объемов 1 : 2. Как относятся площади частей, на которые эта плоскость делит сферу?