167. Точка В находится между точками А и С. По одну сторону прямой АС построены равносторонние треугольники АВВ и ВСК, по другую — равносторонний треугольник АСМ. Докажите, что центры окружностей, описанных около этих треугольников, являются вершинами равностороннего треугольника.
Уравнение прямой
168. Три стороны ромба лежат на прямых х == О, у == х, у == == х + 3. На какой прямой лежит четвертая сторона ромба?
169. Найдите периметр треугольника, стороны которого
лежат на оси абсцисс и на прямых у == — ж и у == — —:с+ 15.
170. Равные отрезки АВ и С^ лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых 1\ и 1ч. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков ВВ и АВ, равно наклонена к прямым 1\ и 1ч.
171. На каком расстоянии от начала координат проходит прямая, имеющая уравнение Зх — 4у + 24 == О?
172. Напишите уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника с вершинами А (—3; 5), В (1; —3), С (7; 9).
173. Напишите уравнение прямой, которая параллельна оси ординат и проходит через точку пересечения прямых 5.т — 9у — — 1 == 0 и Зх -{^у — 10 = 0.
174. Докажите, что прямые ах + 2у — 6 == 0 и Ьх — у + +5=0 пересекаются, если а + 2& ф 0.
175. Вершины треугольника находятся в точках А (0; 13), В (2; —1), С (10; 3). Докажите, что его медианы ВВ и СЕ взаимно перпендикулярны.
Пересечение прямой с окружностью
176. Даны окружности х2 + у2 = 25 и {х — 2)2 + (г/ — б)2 = == 40. Найдите точки пересечения этих окружностей с прямой, проходящей через их центры.
177. Центр окружности радиуса 5 находится в точке пересечения прямых Зж — 4г/ — 1 == 0 и 4.х + Зг/ — 18 == 0. В каких точках эта окружность пересекает названные прямые?
178. Окружность с центром (3; 5) касается оси абсцисс. В каких точках она пересекает ось ординат?
179. Три вершины прямоугольника находятся в точках (0; 5), (8; 5), (8; —2). В каких точках окружность (х — 5)2 + + (у — 2)2 = 25 пересекает стороны прямоугольника?
180. Какую фигуру образуют все точки, удаленные на 2 от окружности ж2 + у2 = 49? В каких точках эта фигура пересекает оси координат?
Соотношения между тригонометрическими функциями острого угла
181. Найдите зависимость между о и Ь, если а == 2 вш х + + 3 соз х, Ь == 3 зш х — 2 соз ж.
182. Известно, что ат х
с
183. Зная, что 1-е х == -I
вш3х + 4 вщ х соа2х
сое х = —. Найдите Ъ§ х.
-, вычислите: а)
2 вш х + 7 сое х
6 эш ж + соз .г '^
3 вш х соа х + 2 сов3х
184. Постройте график функции: у = -\/8Ш4х + 4 соа2х + + -\/ соа4х + 4 зт2х.
185. Найдите зависимость между р у. ^, если р == вт х + соз х, ^ == 8№3х + сов3 х.
186. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катетов на 1 и 8 см. Найдите тригонометрические функции наименьшего угла этого треугольника.
187. Гипотенуза прямоугольного треугольника меньше суммы катетов на 6 см, но больше их разности на 10 см. Найдите тригонометрические функции большего из острых углов этого треугольника.
Тригонометрические функции некоторых острых углов
188. При каких целых а, Ь, с справедливы следующие равенства:
а) а • 8Ш 60° + Ь2 • соз2 45° + с • -Ье 30° = 5 уз — 1;
б о • вш3 30° + Ь соз2 60° + с • 1;ё 45° = -^;
в) а • 8т3 45° + Ъ соз 30° + с • 1ё 60° = 2 -^2?
189. При каких целых а, Ь, с выполняются следующие равенства:
а зш ^°--+сое ^ ^Г^
^ » _1_ ь 4- ——с—— = 4? б) МП 30°" ' соэ 30° ' ^ 60°
. 18(Г , 120° , . 90° о -л- ^"а————4- \,&———=2;
Изменение тригонометрических функций острого угла
190. Докажите, что для любого острого угла х при увеличении натурального числа п величина у == соз" х уменьшается.
191. Сравните по величине: зш 58° соз 48° ^@ 38° и зш42° соа 32° 1@ 22°.
192. Запишите в порядке возрастания: вш760, соа 58°, гё48°,8т380.
193. Запишите в порядке убывания: соз2 10°, сое 30°, ^45°, 1§48°, 1ё50°.
Решение прямоугольных треугольников
194. Докажите, что катеты и высота, проведенная к гипотенузе, связаны соотношением: —г == —г + -тт. и о о
195. Проверьте качество измерения учащимися размеров четырехугольного участка вычислением координат (рис. 33).
196. Проверьте качество измерения учащимися размеров пятиугольного участка вычислением координат (рис. 34).
197. Результаты измерения школьниками сторон и углов земельного участка изображены на рисунке 35. Проверьте качество работы вычислением координат.
Неравенство треугольника
(198. Докажите, что если точка М находится внутри треугольника АВС, то каждый из отрезков МА, МВ, МС меньше хоть' одной из сторон треугольника.
199. Докажите, что если две хорды окружности пересекаются под прямым углом, то сумма этих хорд больше диаметра.
200. Существует ли треугольник, у которого разность любых двух сторон не меньше шестой части периметра?
201.| Докажите, что в тупоугольном треугольнике сторона, лежавшая против тупого угла, наибольшая.
202.) Докажите, что сумма расстояний внутренней точки от всех вершин параллелограмма меньше его периметра.
203 Три угла четырехугольника тупые. Докажите, что диагональ, исходящая из вершины четвертого угла, больше другой диагонали.
204.Докажите, что сумма всех медиан треугольника больше
его периметра.
205. Длины сторон треугольника а, Ь, с, длины его медиан Ото, ть, те. Докажите, что можно построить треугольник со сторонами 'длиной а + тпа, Ь -{- ть, с + т.е.
206. )р окружность вписан равносторонний треугольник АВС..—Диаметр АВ пересекает ВС в точке Е, а хорда АК — в точке М. Докажите, что ЕВ > КМ.
207.Шве высоты треугольника не меньше сторон, к которым они. проведены. Найдите величины углов треугольника.
Скалярное произведение векторов
208. Докажите, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.
209. Точка М находится внутри прямоугольника АВСО. Докажите, что МА • МС == МВ • МО. Выполняется ли это соотношение, если точка М находится вне прямоугольника?
210. АВСВ — прямоугольник, докажите, что для любой точки Т имеет место равенство: ТА2 + ТС2 = ТВ2 + ТО2.
211. Если для точек А, В, С имеет место равенство АС2 ++ ВС2 = 4- АВ2, то АС + ВС = 0. Докажите. л
212. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М, докажите, что для любой точки Т: ТА2 + ТВ2 + ГС2 == == МА2 + МВ2 + МС2 + 3 ТМ2.
213. Докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
214. Окружность диаметра А^ пересекает сторону ВС прямоугольника АВСР в точках К и М. Докажите, что ВК • КО == СМ • МА.
215. АВС^ — ромб, ВК и СЕ — его высоты, проведенные к АО; точка М — середина КО, точка Р — середина СЕ. Найдите угол между ВМ и АР.
216. Найдите величину угла при вершине В равнобедренного треугольника АВС, у которого медианы -АО и СЕ взаимно перпендикулярны.
Центральная симметрия
217. Постройте квадрат с данным центром О, зная, что две параллельные стороны квадрата (или их продолжения) проходят через данные точки М ц N.
218. Постройте параллелограмм АВС^ по положению вершин А. и С и расстояниям а и Ь от вершин В и О до данной точки М.
219. Постройте треугольник по середине основания и серединам высот, проведенных к боковым сторонам. •
220. Точка М находится внутри треугольника АВС. Точки М), Мг, Мз симметричны М относительно середин сторон ВС, АС, АВ. Докажите, что прямые АМ\, ВМг, СМз пересекаются в одной точке.
221. Диагональ АС четырехугольника АВСВ является диаметром описанной окружности, АМ и СН — перпендикуляры, опущенные на диагональ ВВ. Докажите, что ВМ == ТЖ. О 222. Прямая, проходящая через середины Е и К диагоналей четырехугольника АВСВ, пересекает его стороны в точках М и N. Зная, что ЕМ = КН, докажите, что этот четырехугольник — параллелограмм или трапеция.
Осевая симметрия
223. Найдите координаты вершин ромба, у которого диагонали лежат на осях координат, а середина одной из сторон находится в точке (2; —3).
224. Точки С и О симметричны относительно прямой АВ. С помощью односторонней линейки постройте через данную точку М, не лежащую на АВ, перпендикуляр к АВ.
225. Дана окружность и ее центр О. Точки А и В лежат вне окружности. Постройте, пользуясь только циркулем, точки пересечения данной окружности с прямой АВ.
226. Ось симметрии диагонали прямоугольника отсекает на большей стороне отрезок, равный меньшей стороне. Найдите угол между диагоналями прямоугольника.
227. Центр вписанной в треугольник окружности и центр описанной около него окружности симметричны относительно стороны треугольника. Определите величины углов треугольника.
228. Центр описанной около треугольника АВС окружности и центр окружности, которая касается стороны ВС и продолжений двух других сторон, симметричны относительно ВС. Определите величины углов треугольника АВС.
229. Постройте треугольник АВС по положению вершины ^ и прямым, на которых лежат биссектрисы углов В и С.
230. Постройте треугольник по двум сторонам и разности углов при третьей стороне.
231. Постройте треугольник АВС по прямой ВС и серединным перпендикулярам сторон АВ и АС. }
232. Постройте параллелограмм АВСО по вершине В и серединным перпендикулярам 1\ и 1ч сторон АВ и ВС.