Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике (стр. 10 из 13)

Рассмотрим следующий пример: пусть Н – множество перестановок

.

Проверим, является ли Н подгруппой группы S₄.

Проверим, выполняется ли для данного множества условие теоремы о подгруппах для конечных групп (замкнутость множества относительно операции умножения). Оказывается, что данное условие не выполняется, так как

.

Следовательно, множество Н не является подгруппой группы S₄.

Для нахождения подгрупп некоторой группы удобно пользоваться теоремой Лагранжа, которая устанавливает связь между порядками групп и подгрупп.

Теорема Лагранжа: если Н – подгруппа группы G, то ее порядок является делителем порядка G.

Теорема Лагранжа позволяет существенно упростить решение задач, связанных с описанием всех подгрупп некоторой группы.

Рассмотрим, например, симметрическую группу S₃, порядок этой группы равен 3!=6. По теореме Лагранжа мы можем утверждать, что подгруппы из S₃ могут состоять из 2 или 3 перестановок, так как 2 и 3 являются делителями числа 6. Поэтому нам не нужно проверять являются ли подгруппами группы S₃ подмножества, состоящие из 4 или 5 перестановок.

Даже на одном этом примере видно, насколько существенным может быть применение теоремы Лагранжа.

Следует отметить, что утверждение, обратное к теореме Лагранжа не верно. Например, знакомая вам знакопеременная группа А₄ имеет порядок 12, но в ней нет подгрупп порядка 6.

Кроме того, в теории групп существует теорема Силова, которая также облегчает процесс нахождения подгрупп некоторой группы.

Теорема Силова: пусть G – группа порядка g и h - делитель числа g; если h=pⁿ, где р – простое число, а n – положительное целое число, то группа G содержит подгруппу порядка h.

Рассмотрим, например, знакопеременную группу A₄, порядок этой группы равен 12. По теореме Силова мы можем точно утверждать, что группа А₄ содержит подгруппы порядка 2, 3 и 4, так как 2=2¹, 3=3¹, 4=2².

Теорема Лагранжа и теорема Силова играют важную роль в теории групп. Данные теоремы позволяют существенно упростить решение задачи описания всех подгрупп симметрической группы S_n.

Сейчас я познакомлю вас с методом нахождения подгрупп симметрических групп. Для этого рассмотрим следующую задачу.

Задачи: опишите все подгруппы симметрической группы S₃.

Мы знаем, что порядок группы S₃ равен 6. Из теоремы Лагранжа следует, что подгруппы из S₃ могут состоять из 2 или 3 перестановок, а по теореме Силова такие подгруппы точно существуют.

Опишем сначала подгруппы, которые состоят из 2 перестановок. Если Н – такая подгруппа, то в нее входит элемент Е и еще какой-то другой элемент

, то есть .

Так как элемент обратный к

не может совпадать с Е, то . Последнее равенство можно записать так: , то есть Е= . Следовательно, - перестановка второго порядка.

Подгруппы легко находить с помощью таблицы Кэли. Из таблицы умножения группы S₃ (Приложение 1) видно, что подгруппами группы S₃ будут следующие подмножества:

1)

2)

3)

Это следует из того, что

, , .

Опишем теперь подгруппы, состоящие из 3 перестановки. Если G – такая подгруппа, то в нее входит элемент Е и два различных элемента

и , то есть .

Перестановки

и должны иметь порядок 3, так как если одна из них, например , имеет порядок 2, то перестановка также будет иметь порядок 2. но легко проверить, что произведением любых двух перестановок второго порядка является перестановка третьего порядка. Это видно из таблицы умножения группы S₃ (Приложение 1). Так как, например, . Следовательно, перестановки и должны иметь порядок 3, то есть , .

Из таблицы Кэли видно, что

, так как и . Кроме того из таблицы следует, что произведение каждых элементов множества G является элементом из G, то есть выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп. Значит, множество G группы S₃ является подгруппой симметрической группы S₃.

Таким образом, мы получили, что группа S₃ имеет 6 различных подгрупп:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Вы познакомились с методом нахождения подгрупп симметрической группы S₃. Этот же метод используется для отыскания подгрупп симметрической группы S_n.

В качестве домашнего задания запишите следующие упражнения.

I. Какие из следующих множеств перестановок образуют подгруппу в группе S₄:

1)

;

2)

.

II. Существует ли в произвольной конечной группе порядка 10 подгруппа порядка 5.

III. Опишите все подгруппы группы S₄, состоящие из трех перестановок. Сколько их?

Представленные выше 2 занятия по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп» являются частью большого факультативного курса «Элементы современной алгебры». Чтобы более подробно изучить данную тему можно провести небольшой факультативный курс «Элементы теории групп. Симметрические группы» для учащихся 9-10-х классов.

Программа факультативного курса «Элементы теории групп. Симметрические группы».

1)Понятие алгебраического действия. Простейшие свойства действий (6 часов).

Дать определение действия, рассмотреть примеры действий, свойства действий: коммутативность, ассоциативность, обратимость, сократимость, существование нейтрального и обратного элементов, познакомить с таблицей Кэли.

2)Общие определения группы. Примеры групп (4 часа).

Рассмотреть 2 определения группы, доказать эквивалентность этих определений, разобрать примеры групп.

3)Перестановки и симметрические группы (группы перестановок) (8 часов).

Ввести понятие перестановки, рассмотреть умножение перестановок, свойства умножения перестановок: ассоциативность, обратимость, единственность, познакомить с разложением перестановок, циклами, транспозициями, дать определения симметрической и знакопеременной групп.

4)Подгруппа. Примеры подгрупп. Подгруппы симметрических групп (6 часов).

Познакомить с определением подгруппы, рассмотреть различные примеры подгрупп, критерий подгрупп, теорему о подгруппах для конечных групп, теорему Лагранжа и теорему Силова, познакомить с методом нахождения подгрупп симметрических групп.

5)Обобщающее занятие (2 часа).

6)Итоговая проверочная работа (Приложение 2), задается учащимся на дом.

2.3. ОРГАНИЗАЦИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО ВНЕДРЕНИЮ В ШКОЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ ФАКУЛЬТАТИВНОГО

КУРСА «ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ»

В данном параграфе будут рассмотрены общие положения, организация и результаты экспериментальной работы по введению в учебный процесс школы элементов современной алгебры в рамках факультативного курса.

Мы исходим из понимания экспериментальной работы как специально организуемой, целенаправленной и контролируемой деятельности группы студентов по апробированию разработанного факультативного курса в условиях педагогического процесса школы.