Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике (стр. 11 из 13)
На организационном этапе были определены цель, задачи и методы исследования, сформулирована гипотеза, в структуре которой было выделено условие внедрения факультативного курса в учебный процесс.
Экспериментальная работа в школе была определена следующим методологическими характеристиками:
Тема экспериментальной работы: элементы современной алгебры на факультативных занятиях по математике.
Объект – элементы современной алгебры в программе факультативных курсов по математике.
Предмет – элементы теории групп, на примере понятия подгруппы, на факультативных занятиях по математике.
Цель экспериментального исследования обосновать целесообразность и возможность введения элементов современной алгебры в программу факультативных курсов.
Гипотеза эксперимента – введение элементов современной алгебры в программу факультативных курсов по математики для учащихся старших классов целесообразно, доступно и способствует развитию абстрактного мышления, если осуществляется систематическая и планомерная работа с учащимися.
Задачи эксперимента:
1)Экспериментально проверить возможность введения разработанного факультативного курса в школьное обучение;
2)Разработать и апробировать факультативный курс «Элементы современной алгебры»;
3)Проанализировать уровень усвоения учащимися предложенного на факультативе учебного материала;
4)Сделать выводы на основании экспериментальных данных.
Экспериментальная база – национальная гимназия им. Н.Ф. Катанова (г. Абакан, Республика Хакасия).
Этапы эксперимента:
1) подготовительный – до октября 1999 года;
2) формирующий эксперимент – с октября 1999 года до февраля 2000 года;
3) подведение итогов, анализ результатов, формулирование выводов – до апреля 2000 года.
Методика эксперимента: Изучение математической и методической литературы по данной теме, наблюдение за ходом факультативных занятий, письменный опрос школьников, математическая обработка результатов эксперимента.
На подготовительном этапе эксперимента нами была разработана программа факультативного курса «Элементы современной алгебры», а также содержание занятий этого факультатива по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп».
Цель формирующего эксперимента состояла в апробации разработанного нами факультативного курса, определении продолжительности и количества занятий, в выявлении отношения учащихся к новому спецкурсу. Занятия факультатива проводились один раз неделю в течение 5 месяцев, причем продолжительность одного занятия равнялась академическому часу.
Третий этап эксперимента заключался в проведении среза по выявлению у учащихся остаточных знаний программы факультатива.
После прослушивания школьниками всего факультативного курса, им была предложена для выполнения итоговая проверочная работа (Приложение 3). Данная работа состояла из 26 заданий, причем все задания были разбиты на 4 уровня усвоения занятий, требующих от учащихся различных мыслительных операций.
Первый уровень (репродуктивный) предполагал выполнение заданий, требующих воспроизведения знаний без существенных изменений: понятия, правила, готовые выводы.
Второй уровень (уровень стандартных операций) предполагал оперирование знаниями в стандартных условиях, то есть по образцу, правилу, указаниям.
Задания третьего уровня (аналитико-синтетического) предусматривали наличие умений анализировать, синтезировать и обобщать. Для выполнения заданий такого уровня необходимы существенные преобразования в структуре приобретенных школьниками знаний, умения в применении навыков логической обработки учебного материала (выделения главного, умения сравнивать, доказывать, обобщать и конкретизировать).
Для выполнения заданий четвертого уровня (творческого) было необходимо умение применять знания в значительно измененных условиях. Задания на четвертый уровень усвоения этого задания исключительно творческого характера.
В рамках данной проверочной работы, по темам проведенных мною занятий, было предложено 3 задания первых трех уровней. Это были следующие задания:
1) Задание первого уровня.
Пусть <Q, +> - группа, <Z, +> - группа, является ли <Z, +> подгруппой группы <Q, +>.
2) Задание второго уровня.
Доказать, что подмножество
является подгруппой группы S3.3) Задание третьего уровня.
Пусть Н – множество перестановок
, 
, 
, 
. Проверить, является ли Н подгруппой группы S4.Результаты проведенной проверочной работы свидетельствуют о том, что учащиеся справились с предложенными мною заданиями, а значит, успешно усвоили учебный материал по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп».
Так, с заданием первого уровня справились почти все учащиеся (85%), хотя наивысший балл получили лишь несколько школьников. Это связано с тем, что при выполнении данного задания учащиеся давали лишь только правильный ответ, не объясняя и не обосновывал его. Хотя встречались работы, в которых учащиеся очень подробно объясняли свой ответ. В основном, большинство школьников без особых затруднений выполняют задания первого уровня.
С задание второго уровня справилось 69% учащихся. Самой распространенной ошибкой при выполнении данного задания являлось то, что учащиеся не до конца проверяли условия теоремы о подгруппах для конечных групп. Они не учитывали то, что нужно проверять принадлежность данному множеству элемента
. Некоторые учащиеся вообще не применяли данную теорему, а использовали критерий подгрупп, то есть проверяли принадлежность множеству элемента 
, что является излишним для конечных групп. Отыскание подгрупп с помощью этого критерия является не рациональным для конечных групп.Можно сказать, что в среднем более половины школьников легко выполняют задания такого уровня. Снижение показателей по сравнению с первым уровнем обусловлено тем, что для перехода от воспроизведения к применению знаний необходима соответствующая натренированность учащихся в применении знаний, чему не всегда уделяется должное внимание. Мы же не смогли уделить этому внимание из-за отсутствия времени, необходимого для тренировки учащихся в применении полученных знаний.
Задание третьего уровня выполнили 54% школьников, так как задания такого типа требуют уже более высокого уровня развития мышления, они представляют значительную трудность для многих школьников. Как правило, только треть учащихся из класса без особых затруднений выполняют подобные задания.
На рисунке 1 представлены данные, полученные в результате проверочной работы. Данный рисунок отражает только результаты предложенных мною трех заданий.
Таким образом, результаты проверочной работы показали, что разработанный нами факультативный курс «Элементы современной алгебры» доступен пониманию школьников. Следовательно, в ходе формирующего эксперимента было получено подтверждение гипотезы исследования о возможности знакомства школьников с элементами современной алгебры.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В современных условиях развития общества особую актуальность приобрела проблема внедрения в школьное математическое образование элементов современной математики.
Изучение школьных программ и программ факультативных курсов по математике показало, что, например, элементы современной абстрактной алгебры, в частности, элементы теории групп в них не включены. Даже программы факультативных курсов специальных школ не содержат элементов теории групп. В связи с этим нами был разработан факультативный курс «Элементы современной алгебры» для учащихся 9-10-х классов.
В процессе исследования были выявлены возможности введения элементов современной алгебры в программу факультативных курсов, обоснованы целесообразность и доступность данного учебного материала.
В ходе исследования были изучены основные понятия теории групп, решены задачи по данной теме, установлено предположение о том, что количество подгрупп некоторой группы не равно порядку этой группы. Разработано содержание занятий факультативного курса по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп».
На основе изучения психолого-педагогической литературы была дана характеристика процесса развития мышления, сформулированы особенности формирования мышления в старшем школьном возрасте, обосновано влияние элементов современной алгебры на развитие абстрактного мышления старшеклассников.
Результаты проведенного эксперимента показали, что разработанный нами факультативный курс понятен, доступен и успешно усваивается школьниками, а также позволяет поднять абстрактное мышление учащихся на новый, более высокий уровень развития. Все это свидетельствует о том, что выдвинутая нами гипотеза подтвердилась.
ЛИТЕРАТУРА
1. Аносов Д.В. Проблемы модернизации школьного курса математики//Математика в школе. – 2000. - №1. – с.2-4.
2. Беляков Е. Математика – царица наук? Кажется, этот предмет немного устарел//Учительская газета. – 1999. - №20.
3. Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. – М.: Мир, 1971. – 246 с.