Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике (стр. 3 из 13)

Пусть

. Рассмотрим степени элемента : - все эти числа принадлежат Н (так как Н замкнуто относительно умножения по условию). Так как множество Н конечно, то все эти числа различны быть не могут.

Значит, существуют

. Пусть (в случае доказательство проводится аналогично). Тогда и , , , .

Следовательно,

- обратный для , то есть . Но . Следовательно, , то есть . Таким образом, для произвольного элемента получили, что . Значит, Н – подгруппа группы G.

Теорема доказана.

Нам известно, что симметрическая группа S_n является конечной. Поэтому для того чтобы подмножество Н группы S_n являлось подгруппой группы S_n, достаточно чтобы произведение произвольных двух элементов из Н также принадлежало Н.

1.3. ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ ГРУППА

Особенный интерес представляет множество A_n всех четный перестановок на множестве из n символов. Ясно, что это подмножество симметрической группы S_n. Утверждается, что A_n является подгруппой группы S_n. Чтобы доказать это, проверим, что A_n удовлетворяет двум условиям, характеризующим подгруппу:

1) замкнутость.

Если р₁ и р₂ – перестановки из A_n, представимые в виде произведений n₁ и n₂ транспозиций соответственно, то их произведение

можно записать с помощью транспозиций. Если n₁ и n₂ – четные числа, то и n₁+n₂ четно, откуда можно заключить, что перестановка четная и, следовательно, эта перестановка принадлежит A_n.

2) обратимость.

Перестановка р имеет обратную р^-1 (в группе S_n); р*р^-1=Е можно представить только с помощью четного числа транспозиций, поскольку Е – четная перестановка. Значит, если р – четная перестановка, то р^-1 также должна быть четной, то есть у каждого элемента из группы A_n есть обратный в A_n.

Следовательно, для подмножества A_n выполняются два условия теоремы о подгруппах (причем, второе условие можно было бы и не проверять, так как S_n – конечная группа). Поэтому A_n является подгруппой симметрической группы S_n. Подгруппа A_n группы S_n называется знакопеременной группой.

Теорема: порядок группы A_n равен

.

Доказательство.

Пусть а – транспозиция из симметрической группы

, пусть а=(12)=(12)(3)(4)…(n). Умножим каждый элемент группы S_n слева на а=(12). В результате снова получим множество всех элементов из S_n и ни один из них не повторяется дважды. Но произведение любой четной перестановки из S_n и элемента (12) является нечетной перестановкой, а произведение нечетной перестановки и элемента (12) является четной перестановкой. Множество нечетных перестановок и множество четных при этом умножении взаимно однозначно отображаются одно на другое. Это возможно лишь при том условии, что количество четных и нечетных перестановок одинаково. Следовательно, порядок группы A_n равен .

Теорема доказана.

Эта группа играет очень важную роль в теории групп перестановок.

1.4. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА

Пусть Н и G – группы перестановок, причём Н является подгруппой G. В теории групп существует теорема, доказанная Лагранжем, устанавливающая связь между порядками групп Н и G. Эта теорема очень часто применяется в теории групп.

Теорема Лагранжа: если Н – подгруппа группы G, то ее порядок является делителем порядка G.

Доказательство.

Пусть Е, а₁, а₂, …, а_n-1 – все перестановки, содержащиеся в группе G,

- все перестановки из Н (то есть ). Если Н=G, то утверждение теоремы справедливо, поэтому предположим, что Н G (Н – собственная подгруппа G). В силу этого предложения существует перестановка такая, что . Рассмотрим ряд перестановок.

(1)

Все перестановки ряда (1) различны: если бы для каких-то i, j имело место равенство

, то, умножив его правую и левую части на , мы получили бы равенство . Кроме того, ни одна из них не содержится в подгруппе Н: если бы для какого-то номера i имело место включение , то это означало бы, что для какого-то j. Из этого равенства имеем , а так как Н – группа перестановок, то , что противоречит выбору этой перестановки.

Если перестановками группы Н и ряда (1) исчерпаны все перестановки из G, то |G|=2|H|, и все доказано. В противном случае найдется такая перестановка

, что и не содержится в ряде (1). Определим для нее ряд перестановок.

(2)

Аналогично проверяется, что:

1) все перестановки ряда (2) различны;

2) они не содержатся в Н;

3) ни одна из них не встречается среди перестановок ряда (1).

Если перестановками из подгруппы Н и рядов (1) и (2) исчерпываются все элементы группы G, то |G|=3|H|, и все доказано.

В противном случае продолжаем процесс выбора перестановок

и построения рядов вида (1) и (2) дальше. Так как группа G конечная, то на каком-то, например, на k-м шаге все перестановки из G будут исчерпаны. Иными словами, все их можно расположить в такую таблицу:

,	,	,	...,	,
,	,	,	...,	,
* ,	* ,	* ,	...,	* , (3)
...,	...,	...,	...,	...,
* ,	* ,	* ,	...,	* ,

при этом все перестановки в каждой из строк этой таблицы различны и любые 2 строки не имеют общих элементов. Поскольку общее число элементов в таблице равно n (порядок группы G), а число элементов в каждой строке равно m (порядок группы Н), то имеем равенство

, то есть m является делителем n.