Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике (стр. 5 из 13)
Как видим, произведение каждых двух элементов множества G является элементом из G, следовательно, выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп. Значит, подмножество G множества S3 является подгруппой группы S3.
Таким образом, группа S3 имеет шесть разных подгрупп:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Результат только что рассмотренной задачи наталкивает нас на предположение о том, что если группа имеет порядок n, то она имеет и n различных подгрупп. Чтобы подтвердить или опровергнуть это предположение рассмотрим следующую задачу.
2. Опишите все подгруппы симметрической группы S4.
Решение: порядок группы S4 равен 4!=12. По теореме Лагранжа, собственные подгруппы из S4 могут состоять из 2, 3, 4, 6, 8, 12 перестановок. По теореме Силова можно лишь утверждать, что группа S4 содержит подгруппы порядка 2, 3, 4=22, 8=23, но ничего не можем сказать о подгруппах порядка 6 и 12. надо будет доказать существование или отсутствие подгрупп порядка 6 и 12.
1) Опишем подгруппы, состоящие из двух перестановок.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
2) Опишем подгруппы, состоящие из трех перестановок.
10.
11.
12.
13.
3) Опишем подгруппы, состоящие из четырех перестановок.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
4) Опишем подгруппы, состоящие из шести перестановок.
21.
22.
23.
24.
5) Опишем подгруппы, состоящие из восьми перестановок.
25.
26.
27.
6) Опишем подгруппы, состоящие из двенадцати перестановок.
28.
7) Опишем несобственные подгруппы группы S4.
29.
30.
.Все описанные выше подмножества действительно являются подгруппами, так как для каждого из них выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп. Кроме того, в группе S4 имеются подгруппы 6-го и 12-го порядка.
Следовательно, симметрическая группа S4 имеет 30 разных подгрупп, а порядок группы S4 равен 24. поэтому, сформулированное нами предложение о том, что количество подгрупп некоторой группы равно порядку этой группы, оказалось не верным.
3. Доказать, что подмножество
группы S4 является коммуникативной подгруппой. Составить таблицу умножения подгруппы Н.Решение.
Коммуникативной подгруппой называется подгруппы с коммуникативной операцией.
Операция на множестве Н называется коммуникативной, если для любых двух элементов h1 и h2 из Н выполняется условие: h1*h2=h2*h1.
Перестановки
и 
коммутируют, если 
.Пусть
, 
. 
Следовательно, произведение каждых двух элементов множества Н является элементом того же множества, то есть подмножество Н группы S4 является подгруппой группы S4, причем перестановки коммутируют. Значит, Н – коммуникативная подгруппа.
Составим таблицу умножения подгруппы Н.
| * | Е | | |  |
| Е | Е | | | |
| | | Е | | |
| | | | Е | |
| | | | | Е |
4. Опишите все подгруппы S4, которые состоят из трех перестановок. Сколько их?