Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике (стр. 6 из 13)
Решение.
1) Рассмотрим подгруппы, состоящие из трех перестановок второго порядка.
Если Н – такая подгруппа, то она состоит из следующих элементов:
, то есть 
.Если
- перестановка второго порядка, то 
, значит 
.Пусть
, значит 
, тогда 
, то есть 
= , а у нас и должны быть различными. Следовательно, 
, то есть 
, - перестановка второго порядка.Но легко непосредственно проверить, что произведение любых двух элементов второго порядка является элемент третьего порядка. Значит, при таких предположениях произведение
не принадлежит Н и Н не является подгруппой.Следовательно, в группе S4 не существует подгрупп, состоящих из трех перестановок второго порядка.
2) Рассмотрим подгруппы, состоящие из трех перестановок третьего порядка.
Пусть
- такая подгруппа. Если - перестановка третьего порядка, то есть 
, тогда перестановки 
различные, а 
. Следовательно, перестановка тоже третьего порядка. Непосредственно легко проверить, что произведением двух элементов третьего порядка является элемент третьего порядка, то есть произведение принадлежит G и G является подгруппой. В нашем случае существует 4 подгруппы, состоящие из трех перестановок третьего порядка:1 -
2 -
3 -
4 -
.3) Рассмотрим подгруппы, которые состоят из трех перестановок четвертого порядка.
Пусть
- такая подгруппа. Если - перестановка четвертого порядка, то есть 
, то перестановки 
различные. Тогда получается, что в подгруппе М должны содержаться четыре перестановки: 
, а у нас подгруппа М по условию должна содержать три перестановки. Значит, перестановка не может быть четвертого порядка.Следовательно, симметрическая группа S4 содержит всего 4 трехэлементных подгруппы.
5. Какая из подгрупп симметрической группы S3:
будет знакопеременной.Решение.
Знакопеременная группа Аn имеет порядок
, значит знакопеременная группа А3 имеет порядок 
. Следовательно, из представленных в условии задачи подгрупп знакопеременной может быть подгруппа G, так как ее порядок равен 3. Проверим, являются ли перестановки подгруппы G четными. По определению, перестановка называется четной, если она раскладывается в произведение четного числа транспозиции.(123)=(12)*(13), то есть (123) – четная перестановка
(132)=(13)*(12), то есть (132) – четная перестановка
Следовательно, подгруппа G группы S3 является знакопеременной.
Утверждение: если G – группа порядка 2n и Н – ее подгруппа порядка n, то Н будет нормальной подгруппой группы G.
Утверждение: знакопеременная группа Аn является нормальной подгруппой симметрической группы Sn.
6. Докажите, что группа А4 не имеет подгрупп порядка 6.
Доказательство.
Если группа А4 обладает подгруппой порядка 6, то эта подгруппа должна быть нормальной, так как ее порядок равен половине порядка группы А4. Но, так как любая нормальная подгруппа группы А4 содержит только элементы порядка 2, то максимальный возможный порядок подгруппы А4 равен 4. Следовательно, группа А4 не имеет подгрупп порядка 6.
7. Докажите, что знакопеременная группа Аn (
). Порождается всеми циклами (abc) длины 3.Доказательство.
Группа Аn порождается произведениями пар транспозиций. Если две транспозиции одинаковы, их произведение равно тождественной перестановке. Если они имеют одну общую букву, как, например, (ab) и (ac), то (ab)*(ac)=(abc). Если они не имеют общих букв, то (ab)*(cd)=(ab)*(ac)*
*(c a)*(c d)=(a b c)*(c a d). Значит, знакопеременная группа Аn, порождается всеми циклами длины 3.
ГЛАВА 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ
НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ В ШКОЛЕ
2.1. ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ, КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ
АБСТРАКТНОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ СТАРШИХ КЛАССОВ
2.1.1. МЫШЛЕНИЕ И ЕГО РАЗВИТИЕ
Развитие мышления школьников является одной из главных задач обучения, так как высокая результативность обучения школьников достигается прежде всего тогда, когда проявляется должная забота о развитии мышления учащихся [24].
Мышление является продуктом исторического развития общественной практики, особой теоретической формой человеческой деятельности. С точки зрения психологии, мышление – это специально обусловленный, неразрывно связанный с речью психический процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредствованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза [23].
Критерий истинности мышления – общественная практика. Она служит также той основой, на которой строятся логические законы и правила. Поэтому мышление не может быть сведено только к совокупности мыслительных операций и манипулировании с ними. Развитое мышление тесно связано с речью, то есть способностью говорить, выражать свои мысли.
В задачи мышления входит правильное определение причин и следствий, которые могут выполнять функции друг друга в зависимости от обстоятельств и времени.
Развитие мышления – это изменения его содержания и форм, которые образуются в процессе познавательной деятельности ребенка. В психологии обычно рассматриваются три вида мышления: 1) практически-действенное, 2) наглядно-образное и 3) словесно-логическое. Самым ранним (у ребенка до 3 лет) является практически-действенное. В 4-7 лет развивается наглядно-образное. В первые годы обучения в школе происходит развитие словесно-логического (понятийного) мышления. У школьников среднего и старшего возрастов этот вид мышления становится особенно важным.
В процессе развития мышление предшествующий вид не отбрасывается последующим. Каждый вид продолжает и дальше развивается и совершенствоваться.
Таким образом, развитие мышления – это не простая смена видов и форм мышления, а их изменение, совершенствование в ходе усвоения все более абстрактной и обобщенной информации [23], [24].
Развивать мышление – это значит:
1)развивать все виды и формы мышления и стимулировать процесс перерастания их из одних в другие;
2)формировать и совершенствовать мыслительные операции (анализ, синтез, сравнение, обобщение, классификацию и другие);
3)развивать умения: выделять существенные свойства предметов и абстрагировать их от несущественных; находить главные связи и отношения вещей и явлений окружающего мира; делать правильные выводы из фактов и проверять их; доказывать истинность своих суждений и опровергать ложные умозаключения; раскрывать существо основных форм правильных умозаключений; излагать свои мысли определенно, последовательно, непротиворечиво и обоснованно;
4)вырабатывать умения осуществлять перенос операций и приемов мышления из одной области в другую; предвидеть развитие явлений и делать обоснованные выводы;