Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике (стр. 9 из 13)
Можно указать и другие мотивы, в силу которых элементы теории групп целесообразно рассматривать в школе в качестве первого и основного примера математической структуры. Например, существует большое число простых и конкретных систем, иллюстрирующих аксиоматику группы на знакомом школьникам материале, причем многие из них являются весьма наглядными. Кроме того, аксиоматика группы может быть легко установлена школьниками индуктивно, посредством изучения одной из иллюстрирующих ее конкретных систем. Многие дедуктивные выводы из аксиом группы просты и изящны. К тому же учащимся, испытывающим определенные затруднения при чисто абстрактном исследовании, часто помогает сравнение общих выводов с выводами, делающимися на известном и конкретном примере системы, снабженной групповой структурой. Весьма небольшое число аксиом оказывается достаточным для рассмотрения разных теорем, сразу приводящих к интересным результатам [16].
При этом имеет смысл не просто ознакомление школьников с некоторыми любопытными вопросами теории групп, а систематическая и планомерная работа по изучению структуры группы.
Исходя из всего выше написанного, можно сделать вывод о том, что теория групп как нельзя лучше подходит для того, чтобы показать школьникам образец современной математической теории.
2.2.3.2. ПРОГРАММА И СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА «ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ»
В качестве экспериментальной работы мы предлагаем изучение элементов современной алгебры в рамках факультативного курса по математике.
Нами была разработана программа факультативного курса «Элементы современной алгебры» и проведена апробация этого курса среди учащихся 9-10-х классов абаканской национальной гимназии им. Н.Ф. Катанова. Мы ставили перед собой следующую задачу: познакомить школьников с элементами теории групп.
Факультативный курс «Элементы современной алгебры» можно провести по следующему тематическому плану.
1)Алгебраические действия. Свойства алгебраических действий (4 часа).
2)Понятие полугруппы. Примеры полугрупп (2 часа).
3)Подполугруппы. Идеалы полугрупп (2 часа).
4)Делимость элементов в полугруппе (2 часа).
5)Регулярные элементы полугрупп. Понятие инверсной полугруппы (2 часа).
6)Гомоморфизм и изоморфизм полугрупп (2 часа).
7)Свободная полугруппа слов. Полугруппа преобразований (2 часа).
8)Понятие группы. Примеры групп. Группы симметрий. Свободная группа (6 часов).
9)Простейшие свойства групп. Группа перестановок (симметрическая группа) (4 часа).
10) Понятие подгруппы. Примеры подгрупп. Подгруппы симметрических групп (4 часа).
11) Определяющие соотношения в группах (2 часа).
12) Порождающие множества групп. Циклическая группа (2 часа).
13) Гомоморфизм и изоморфизм (2 часа).
14) Симметрические многочлены (4 часа).
В рамках данного факультативного курса мною проведены 2 занятия по теме: «Понятие подгруппы. Подгруппы симметрических групп».
Занятие 1.
Тема: «Понятие подгруппы. Примеры подгрупп».
Цели:
- познакомить учащихся с понятием подгруппы, рассмотреть критерий подгрупп, теорему о подгруппах для конечных групп, разобрать примеры различных подгрупп;
- продолжить развитие абстрактного мышления учащихся;
- формировать у учащихся внимание, наблюдательность.
Ход занятия.
На предыдущих занятиях вы познакомились с понятием группы, а понятие группы тесно связано с таким понятием, как «подгруппа». Подгруппы играют особую роль в развитии и применении теории групп. Поэтому сегодня на занятии вы познакомитесь с понятием «подгруппа».
Для начала, давайте рассмотрим с вами множество целых чисел. Из предыдущих занятий вам известно, что множество целых чисел образует группу по сложению. Выделим во множестве целых чисел два подмножества: подмножество четных целых чисел и подмножество нечетных целых чисел. Теперь попробуем выяснить, являются ли выбранные нами подмножества группами по сложению. Для этого надо проверить выполнимость всех аксиом группы (ассоциативность операции, существование нейтрального и обратного элементов, наличие бинарной операции).
Сначала рассмотрим подмножество четных целых чисел. Сложение является бинарной операцией на подмножестве четных чисел, так как если сложить два четных числа, то в результате снова получится четное число. Сложение ассоциативно, нейтральным элементом является нуль, у каждого элемента есть обратный (так как число, обратное четному числу, также четно). Значит, подмножество четных целых чисел является группой по сложению.
Теперь рассмотрим подмножество нечетных целых чисел. Сложение не является бинарной операцией на подмножестве нечетных чисел, так как если сложить два нечетных числа, то в результате не всегда получится нечетное число. Например, числа 3 и 5 являются нечетными, а их сумма является четным числом. Следовательно, данное подмножество не является группой.
Таким образом, в том случае, когда для подмножества данного множества, являющегося группой, выполняются все аксиомы группы, то говорят, что это подмножество называется подгруппой данной группы.
Запишем определение: подмножество группы называется подгруппой этой группы, если оно само является группой относительно операции, переделенной в группе.
Следовательно, из рассмотренного нами примера следует, что подмножество четных чисел является подгруппой группы целых чисел относительно сложения. А подмножество нечетных чисел не является подгруппой группы целых чисел относительно сложения.
Но для того, чтобы каждый раз при нахождении подгруппы не проверять все аксиомы группы, принято пользоваться следующим критерием подгруппы.
Теорема: для того, чтобы непустое подмножество Н группы <G, *> было подгруппой, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:
1)множество замкнуто относительно операции, определенной в группе, то есть для любых элементов h1, h2 
и
;2)множество содержит вместе с каждым своим элементом и обратный к нему элемент, то есть для любого элемента
и 
.Данная теорема справедлива для бесконечных групп. В случае конечных групп проверка 2) условия является излишней, то есть для конечных групп справедлива следующая теорема о подгруппах.
Теорема: пусть <G, *> - группа, Н – конечное пустое подмножество G, замкнутое относительно операции «*», тогда Н является подгруппой группы G.
Следует также отметить, что каждая группа имеет две особые подгруппы:
1)все группы содержат в качестве подгруппы множество, состоящее только из одного нейтрального элемента;
2)любая группа содержит себя в качестве подгруппы.
Обычно нас будут интересовать подгруппы, отличные от этих особых подгрупп. Такие подгруппы называются собственными, а две особые группы – несобственными.
Давайте выполним следующее задание:
I. Дана группа действительных чисел, отличных от нуля относительно умножения, то есть <R|{o},*>. Требуется проверить, являются ли подгруппами этой группы следующие множества:
1) множество положительных действительных чисел;
2) множество рациональных чисел, отличных от нуля.
Первый пункт данного задания давайте рассмотрим вместе, а второй пункт вы попробуете решить самостоятельно.
Так как группа действительных чисел, отличных от нуля относительно умножения является бесконечной группой, то для отыскания подгрупп этой группы будем пользоваться критерием подгрупп. Нам надо проверить выполнимость двух условий критерия. Первое условие выполняется, так как произведение двух положительных действительных чисел положительно и действительно (например,
). Второе условие критерия также выполняется, так как число, обратное положительному, также положительно. Следовательно, <R+, *> является подгруппой группы <R|{o}, *>.Попробуйте теперь сами привести примеры подгрупп (учащиеся приводят различные примеры подгрупп).
Далее выполним следующие задания:
II. Покажите, что множество всех чисел, кратных 5, образует подгруппу группы целых чисел по сложению.
III. Является ли множество, состоящее из чисел 1 и –1 подгруппой группы <R|{o}, *>.
В качестве домашнего задания запишите следующие упражнения:
I. Поверьте, является ли множество целых чисел подгруппой группы <Q, +>.
II. Является ли множество целых чисел подгруппой группы <Q|{o}, *>.
Занятие 2.
Тема: «Подгруппы симметрических групп».
Цели:
- познакомить учащихся с теоремой Лагранжа и с теоремой Силова, с методом нахождения подгрупп симметрических групп;
- продолжить развитие абстрактного мышления школьников;
- способствовать воспитанию у учащихся наблюдательности.
Ход занятия.
Вы уже знакомы с симметрической группой Sn. Внутреннюю структуру симметрической группы Sn можно описать с помощью ее подгрупп. Изучение внутренней структуры симметрической группы позволяет установить ее многие свойства. Поэтому сегодня на занятии мы с вами будем рассматривать подгруппы некоторых симметрических групп, познакомимся с методом отыскания подгрупп.
Для начала следует отметить то, что симметрическая группа Sn имеет много разных подгрупп, причем их число очень быстро возрастает с увеличением числа n. Полностью описать все подгруппы группы Sn удается лишь для небольших n, а для больших n изучаются общие свойства таких подгрупп.
Нам известно, что симметрическая группа Sn конечна. Поэтому для того, чтобы подмножество Н группы Sn являлось подгруппой группы Sn, достаточно чтобы произведение каждых двух элементов из Н также принадлежало Н.