Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне (стр. 2 из 3)
D - главный определитель нормальной системы.
В нашем случае:
S0=3.5438 10-22
S1=-8.9667 10-14
S2=6.3247 10-7
 |
Откуда:
 |
Найденные оценки коэффициентов распределены по нормальному закону, т.к. линейно зависят от линейно распределённых экспериментальных данных Ui.
 |
Известно, что эти оценки несмещённые и эффективные. Тогда случайные величины:
Имеют распределения Стьюдента, а r = 3.
 |
Выбираем доверительную вероятность b=0,9 и по таблице Стьюдента находим критическое значение gb равное 2,35, удовлетворяющее равенству:
 |
Доверительные интервалы для коэффициентов:
(2.4*)
 |
В нашем случае примут вид:
 |
2.2 Проверка статистической гипотезы об адекватности модели задачи регрессии.
 |
Имеется выборка объёма n экспериментальных значений (xi;Ui). Предполагаем, что ошибки измерения xiпренебрежимо малы, а случайные ошибки измерения температур Uiподчинены нормальному закону с постоянной дисперсией s2. Мы выбрали функцию регрессии в виде:
 |
Выясним, нельзя ли было ограничиться многочленом второго порядка, т.е. функцией вида:
(2.5)
 |  |
C помощью МНК можно найти оценки этих функций и несмещённый оценки дисперсии отдельного измерения Ui для этих случаев:
Где r1 = 4 (количество точек – 6, параметра – 2).
 |
Нормальная система уравнений для определения новых оценок коэффициентов функции (2.5)с помощью МНК имеет вид:
(2.7)
 |  |  |
Решая эту систему методом Гаусса, получим:
(2.8)
Чем лучше функция регрессии описывает эксперимент, тем меньше для неё должна быть оценка дисперсии отдельного измерения Ui, т.к. при плохом выборе функции в дисперсию войдут связанные с этим выбором дополнительные погрешности. Поэтому для того, чтобы сделать выбор между функциями U(x) и U(1)(x) нужно проверить значимость различия между соответствующими оценками дисперсии, т.е. проверить гипотезу:
 |  |
Н0 – альтернативная гипотеза
Т.е. проверить, значимо ли уменьшение дисперсии при увеличении степени многочлена.
 |
В качестве статического критерия рассмотрим случайную величину, равную:
(2.9)
имеющую распределение Фишера с(r ; r1) степенями свободы.Выбираем уровень распределения Фишера, находим критическое значение F*a, удовлетворяющее равенству: p(F>F*a)=a
В нашем случае F=349.02, а F*a=10,13.
 |
Если бы выполнилось практически невозможное соотношение F>Fa, имевшее вероятность 0,01, то гипотезу Н0 пришлось бы отклонить. Но в нашем случае можно ограничиться многочленом
, коэффициенты в котором неодинаковы.
3. Нахождение коэффициента теплопроводности a.
 |
Коэффициент a вычислим по формуле (1.5), обозначим:
 |
(3.1)
 |
Определим допустимую абсолютную погрешность величины интеграла I, исходя из требования, чтобы относительная погрешность вычисления a не превосходила 0,1%, т.е.:
(3.2)
 |
Т.к. из (3.1) очевидно, что a>a0, то условие (3.2) заведомо будет выполнено, если:
(3.3)
Т.е. в качестве предельно допустимой абсолютной погрешности вычисления интеграла I возьмём d=0,001Т (3.4)
Т=218 оС, следовательно, d=0,218 оС.
3.1 Вычисление интеграла I методом трапеции
Использование теоретической оценки погрешности
 |
Для обозначения требуемой точности количества частей n, на которые нужно разбить отрезок интегрирования [0;T] определяется по формуле:
, где M2=[f”(t)], t e [0;T], f(t)=e-bt3
 |
Учитывая формулу (3.4) получаем:
(3.5)
 |  |
Дифференцируя f(t), получим:
 |
А необходимое условие экстремума: f”(t)-f’’’(t)=0, откуда получаем:
Далее вычисляем значения f’’(t) при t=t1, t=t2, t=0 и t=T, получаем:
f’’(t1)=1.5886 10-4
f’’(t2)=-1.6627 10-4
f’’(0)=0
f’’(T)=7.4782 10-6
Итак: M2=1,5886 10-4, откуда n=25.66; принимаем N=26.
 |
Далее вычислим интеграл I:
Погрешность вычисления a:
 |
3.2 Вычисление интеграла I методом парабол
 |  |
При расчётах будем использовать теоретическую оценку погрешности с помощью правила Рунге. Для обеспечения заданной точности количество частей n, на которое следует разделить интервал интегрирования можно определить по формуле:
 |
, откуда:
Нахождение М4 можно провести аналогично нахождению М2 в предыдущем пункте, но выражение для fIV(t) имеет довольно громоздкий вид. Поэтому правило Рунге – наиболее простой способ.
Обозначим через Inи I2nзначение интеграла I, полученное при разбиении промежутка интегрирования соответственно на n и 2n интервалов. Если выполнено равенство: |I2n-In| = 15d (*1), то |I-I2n|=d
 |
Будем , начиная с n=2, удваивать n до тех пор, пока не начнёт выполняться неравенство (*1), тогда:
(3.6)
 |
Согласно формуле парабол (3.7):
Результаты вычислений сведём в таблицу:
| n | In | I2n |
| 4 | 102.11 | |
| 8 | 101.61 | 0.5017 |
По формуле (3.7) I = 101,61 что в пределах погрешности совпадает со значением, полученным по методу трапеций
| n=8 | n=4 | ||
| ti (8) | y8 | ti (4) | y4 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 27.25 | 0.9864 | ||
| 54.5 | 0.8959 | 54.5 | 0.8959 |
| 81.75 | 0.6901 | ||
| 109 | 0.4151 | 109 | 0.4151 |
| 136.25 | 0.1796 | ||
| 163.5 | 0.0514 | 163.5 | 0.0514 |
| 190.75 | 0.0089874 | ||
| 218 | 0.00088179 | 218 | 0.00088179 |
4. Вычисление времени Т0 установления режима