Исследование свойств прямоугольного тетраэдра (стр. 2 из 3)

___________________

S_АВС = √Ѕ²_ОАВ + S²_ОВС + S² _ОАС

____________

т.е. S_АВС = (1/2)√a²b²+b²c²+a²c²

Следовательно,

____________

h = (abc) / √a²b²+b²c²+a²c² , что и требовалось доказать.

V. Косинусы направляющих углов нормали к гипотенузной грани определяются по формулам:

____________

cos α = h / a= (bc) / √a²b²+b²c²+a²c²

____________

сos β = h / b = (ac) / √a²b²+b²c²+a²c²

____________

cos γ = h / c= (ab) / √a²b²+b²c²+a²c²

где a, b, c – катеты тетраэдра;

α – угол между катетом а и нормалью

β – угол между катетом b и нормалью

γ – угол между катетом с и нормалью.

h – нормаль

Дано:

ОАВС - прямоугольный тетраэдр.

ОА = а, ОВ = b, ОС = с - катеты

ОД = h – нормаль к грани АВС А

Доказать: Д

____________

cos α = (bc) / √a²b² +b²c² +a²c² h

____________ а В

cos β = (ac) / √a²b² +b²c² +a²c² α b

____________ β

cos γ = (ab) / √a²b² +b²c² +a²c² γ

С

О с

Доказательство.

Соединим точку Д с точкой А и получим прямоугольный треугольник ОАД

cos α = ОД/ОА = h/a

____________

Поскольку h = (abc) / √a²b²+b²c²+a²c²

____________

cos α = (bc)/√a²b²+b²c²+a²c² , что и требовалось доказать.

Аналогично:

____________

cos β = ОД/ОВ = d/b = (ac)/√a²b²+b²c²+a²c²

____________

cos γ = ОД/ОС = d/c = (ab)/√a²b²+b²c²+a²c²

VI. Радиус сферы, описывающей прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:

________

R = ( ½) · √a²+b²+c²

где a, b, c – катеты тетраэдра

К L

Дано:

ОАВС- прямоугольный тетраэдр А М

ОА = а, ОВ = b, ОС = с – катеты

R – радиус сферы, описывающей

тетраэдр.

Доказать: а

_______ В Д

R = (1/2)√a²+b²+c² b

О

Доказательство. с С

На базе прямоугольного тетраэдра

ОАВС достраиваем прямоугольный параллелепипед ОВДСАКЛМ. Диагонали прямоугольного параллелепипеда являются диаметрами описывающей его сферы, т.к. центр симметрии прямоугольного параллелепипеда совпадает с центром описанной сферы т.е.:

_______ _____ ________

КС = D = √a²+b²+c² (ВС = √b²+c² , ВК = а, КС = √ВС²+ВК² )

Поскольку данная сфера одновременно описывает прямоугольный

тетраэдр, имеем:

_______

R = (1/2)D = (1/2)√a²+b²+c²,

что и требовалось доказать.

VII. Радиус сферы, вписанной в прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:

abc

r = ____________ ,

√a²b²+b²c²+a²c² + ab + bc + ac

где a, b, c - катеты тетраэдра.

Дано: ОАВС - прямоугольный тетраэдр

ОА = а, ОВ = b, ОС = с – катеты. О₁ – центр вписанной сферы

r - радиус вписанной сферы

Доказать:

r = h / (1 + cosα + cosβ + cosγ)

Доказательство: Пусть вписанная сфера касается гипотенузной грани в точке Д. Тогда О₁Д перпендикулярна гипотенузной грани и О₁Д = r.

_ _

Пусть d_o - единичный вектор нормали к гипотенузной грани, т.е. |d_о| = 1

Координаты этого единичного вектора (cos α; cos β; cos γ) являются направляющими косинусами нормали к гипотенузной грани.

__

Найдем проекцию вектора ОО₁ с координатами (r; r; r) на вектор нормали:

___ __

ОК = |ОО₁|cosδ , где δ – угол между вектором ОО₁ и вектором нормали.

___ __ _ __ _

|OO₁|cosδ = (OO₁·d_o) = r·cosα + r·cosβ + r·cosγ , где (ОО₁·d_о) – скалярное произведение двух векторов.

Пусть перпендикуляр к гипотенузной грани ОН = h,

тогда h = OK + KH, т.е.

h = |OO₁|cosδ + r, т.к. КН = r

(поскольку КНДО₁ является прямоугольником).

Имеем

h = r cosα + r cosβ + r cosγ + r

т.е.

r = h / (1 + cosα + cosβ + cosγ)

С учетом 4-го и 5-го свойств прямоугольного тетраэдра имеем полную формулу:

____________

(abc)/√ a²b²+b²c²+a²c² abc

r = ____________ = ____________ ,

1 + (bc + ac + ab) / √a²b²+b²c²+a²c² √a²b²+b²c²+a²c² + ab + bc + ac

VIII. Свойства равнокатетного прямоугольного тетраэдра.

А

Дано:

ОАВС -прямоугольный тетраэдр

ОА = ОВ = ОС = а – а

катеты В

Доказать, что гипотенузная а

грань является правильным

треугольником и косинусы О Д

двугранных углов между

гипотенузной гранью и катетными а

гранями равны С

___

√1/3

Доказательство.

Стороны гипотенузной грани находим по теореме Пифагора:

_________ __

АС = √ ОА² +OC² = √2 а

_________ __

АВ = √ ОА² +OB² = √2 а

_________ __

ВС = √ ОВ² + ОС² = √2 а

т.е. треугольник АВС равносторонний или правильный, что и требовалось доказать.

Проведем отрезок АД перпендикулярно ВС. Отрезок ОД является проекцией отрезка АД на грань ОВС и поэтому ОД будет перпендикулярен ВС по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, угол ОДА является линейным углом двугранного угла между гранями ОВС и АВС

Поскольку АД является высотой правильного треугольника АВС:

_ _ _ ___

АД = (√3/2)АВ = (√3/2)√2 а = √3/2 а

ОД является высотой равнобедренного прямоугольного треугольника ОВС, опущенной с вершины прямого угла. Следовательно:

_

ОД = а/√2

Косинус двугранного угла: __

сos _ОДА = ОД/АД = 1/√3 , что и требовалось доказать.

Результаты исследования: исследования позволили установить свыше 8 важнейших свойств прямоугольного тетраэдра. Поскольку эти исследования проводились впервые, все полученные результаты обладают научной новизной.