История тригонометрии в формулах и аксиомах (стр. 2 из 2)

Рассуждая аналогично при a®90° приходим к целесообразности принять что

sin90°=1; cos90°=0, tg90° не существует (tg90°®¥) и ctg90°=0.

Приведем таблицу значений синусов для углов от 0° до 90° с шагом 2°, которую можно получить указанным выше способом.

градусы	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
sin	0,00	0,03	0,07	0,10	0,14	0,17	0,21	0,24	0,28	0,31	0,34	0,37
градусы	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46
sin	0,41	0,44	0,47	0,50	0,53	0,56	0,59	0,62	0,64	0,67	0,69	0,72
градусы	48	50	52	54	56	68	60	62	64	66	68	70
sin	0,74	0,77	0,79	0,81	0,83	0,93	0,87	0,88	0,90	0,91	0,93	0,94
градусы	72	74	76	78	80	82	84	86	88	90
sin	0,95	0,96	0,97	0,98	0,98	0,99	0,99	1,00	1,00	1,00

Пользуясь значениями тригонометрической функции y=sinx из таблицы, построим график.

0 30° 60° 90°x

Рис.4.

Основные соотношения между тригонометрическими функциями острого угла

Для прямоугольного треугольника в соответствии с теоремой Пифагора

a²+b²=c²

или

По определению тогда

(1)

Легко также найти следующие зависимости

(2)

(3)

(4)

(5)

Из соотношений (1)-(5), которые называют основными, можно вывести и другие вспомогательные соотношения, например:

(6)

(7)

(8)

Соотношения (1)-(8) связывают все тригонометрические

функции так, что по значению одной из них для данного острого угла можно найти значения всех остальных функций для этого же угла.

Тригонометрические функции произвольного угла

Пусть в прямоугольной системе координат x0y задан радиус-вектор образующий с положительным направлением оси 0x угол a. Будем считать, что ось 0x– начальная сторона, а вектор - конечная сторона угла a. Проекция вектора на координатные оси соответственно обозначим a_x и a_y.

Можно показать, что отношения где а – длина вектора , зависят только от

величины угла a и не зависят от длины вектора . Поэтому эти отношения можно рассматривать как функции произвольного угла a.

Синусом угла a,образованного осью 0x и произвольным радиусом-вектором , называется отношение проекции этого вектора на ось 0yк его длине:

A

Рис. 6.

Если не указано сколько оборотов совершил вектор вокруг точки 0, то положение вектора определяет угол с точностью до целого оборота, т.е углу с начальной стороной 0xи конечной стороной соответствует бесчисленное множество углов, которые выражаются формулой

360°·n+a, где n=0; ±1; ±2; ±3; ±4; …

и sin(a+360°· n)=sina

Длина радиуса-вектора всегда число положительное. Проекция его на координатные оси величины алгебраические и в зависимости от координатных четвертей имеют следующие знаки:

В I четверти a_x>0; a_y>0;

Во II четверти a_x<0; a_y>0;

В III четверти a_x<0; a_y <0;

В IV четверти a_x>0; a_y<0/

График функции y=sinx

До сих пор аргументами тригонометрических функций рассматривались именованные величины – углы (дуги), измеренные в градусах или радианах. Значения тригонометрических функций, как отношения отрезков, являются абстрактными величинами (числами). При изучении свойств тригонометрических функций приходится сравнивать изменения функции в связи с изменениями аргумента, а сравнивать можно только однородные или, что еще лучше, абстрактные величины.

Кроме того, введение тригонометрических функций от абстрактного аргумента дает возможность применять эти функции в различных вопросах математики, физики, техники и т.д.

Вместо именованного значения аргумента тригонометрических функций в x (радианов) будем рассматривать абстрактное числогде r обозначает радианы, ии по определению принять что

sinx, где x – абстрактное число, равен sinx, где x измерен в радианах.

Тригонометрические функции являются периодическими, то есть существует число а, отличное от 0, такое, что при любом целом nтождественно выполняется равенство:

f(x+na)=f(x), n=0; ±1; ±2 ...

Число а называется периодом функции. Период функции sinx равен 2p. Для нее имеет место формула:

sin(x+2pn)= sinx, гдеn=0; ±1; ±2 ...

График функции y=sinx называют синусоидой. Для построения графика можно взять значения аргумента x с определенным интервалом и составить таблицу значений y=sinx, соответствующих выбранным значениям x, а затем по точкам, как это часто делается в алгебре, построить график.

Строим в системе координат x₁0₁y₁ единичную окружность R=1 с центром 0₁ на оси абсцисс x₁. Дугу этой окружности начиная от точки начиная от точки оси абсцисс x₁=+1, делим на n равных частей:

Затем строим вторую систему координат x0y, ось которой 0x совпадает с осью 0₁x₁, но сначало координат 0₁(x₁=0) и 0(x=0) у етих систем различные. В новой системе координат отрезок оси абсцисс от x=0 до x=2p делим на n равных частей: Из точек деления окружности проводим прямые параллельные оси 0x, а из точек деления отрезка [0, 2p] проводим прямые, перпендикулярные этой осм. Точки пересечения соответствующих прямых будут точками графика y=sinx, так как ординаты этихточек равны значениям синуса, соответствующим значениям аргумента в точках деления отрезка [0, 2p].

Рис.8.

Некоторые свойства функции y=sinx

1. Непрерывность.

Функция y=sinxсуществует при всех действительных значения x, причем, график ее является сплошной кривой линией (без разрывов), т.е. функция sinx непрерывна.

2. Четность, нечетность.

Функция y=sinxнечетная и ее график симметричный относительно начала координат.

3. Наибольшие и наименьшие значения.

Все возможные значения функции sinxограничены неравенствами

-1£sinx£+1,

причем sinx=+1, если

и sinx=-1, если

4.Нулевые значения (точки пересечения графика функции с осью абсцисс).

sinx=0, если x=pn(n=0; ±1; ±2;…).

5. Интервалы возрастания и убывания.

Функция возрастает, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции на интервалах

(n=0; ±1; ±2;…).

И убывает, т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции на интервалах

(n=0; ±1; ±2;…).