Комбинаторика (стр. 2 из 2)
Тут пуще прежнего пошли у низ раздоры
И споры,
Кому и как сидеть…
Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных мест. Однако способов не так уж и много. Сколько?
Здесь идет перестановка из четырех, значит, возможно
P4=4!=24 варианта перестановок.
Сочетания без повторений
Сочетанием без повторений называется такое размещение, при котором порядок следования элементов не имеет значения.
Всякое подмножество X состоящее из m элементов, называется сочетанием из n элементов по m.
Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше количества размещений.
Число сочетаний из n элементов по m обозначается
. 
.Примеры задач
Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр.Решение:
Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих трех кнопок – сочетание. Отсюда возможно
вариантов.У одного человека 7 книг по математике, а у второго – 9. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги.
Решение:
Так как надо порядок следования книг не имеет значения, то выбор 2ух книг - сочетание. Первый человек может выбрать 2 книги
способами. Второй человек может выбрать 2 книги 
. Значит всего по правилу произведения возможно 21*36=756 вариантов.При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать?
Первый игрок делает выбор из 28 костей. Второй из 28-7=21 костей, третий 14, а четвертый игрок забирает оставшиеся кости. Следовательно, возможно
.Размещения и сочетания с повторениями
Часто в задачах по комбинаторике встречаются множества, в которых какие-либо компоненты повторяются. Например: в задачах на числа – цифры. Для таких задач при размещениях используется формула
, а для сочетаний 
.Примеры задач
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
Решение. Так как порядок цифр в числе существенен, цифры могут повторяться, то это будут размещения с повторениями из пяти элементов по три, а их число равно
.В кондитерском магазине продавались 4 сорта пироженных: эклеры, песочные, наполеоны и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пироженных.
Решение: Покупка не зависит от того, в каком порядке укладывают купленные пироженные в коробку. Покупки будут различными, если они отличаются количеством купленных пирожных хотя бы одного сорта. Следовательно, количество различных покупок равно числу сочетаний четырех видов пироженных по семь -
.Обезьяну посадили за пишущую машинку с 45 клавишами, определить число попыток, необходимых для того, чтобы она наверняка напечатала первую строку романа Л.Н. Толстого «Анна Каренина», если строка содержит 52 знака и повторений не будет?
Решение: порядок букв имеет значение. Буквы могут повторяться. Значит, всего есть
вариантов.Перестановки с повторениями
, где n-количество всех элементов, n1,n2,…,nr-количество одинаковых элементов.Примеры задач
Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас»?
Решение: всего букв 6. Из них одинаковы n1«а»=3, n2«н»=2, n3«с»=1. Следовательно, число различных перестановок равно
.
Задачи для самостоятельного решенияСколько перестановок можно сделать из букв слова «Миссисипи».
Ответ: 2520
Имеется пять различных стульев и семь рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку стульев.
Ответ: 16807
На памятные сувениры в «Поле Чудес» спонсоры предлагают кофеварки, утюги, телефонные аппараты, духи. Сколькими способами 9 участников игры могут получить эти сувениры? Сколькими способами могут быть выбраны 9 предметов для участников игры?
Ответ: 49, 220
Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы на одна из них не могла бить другую?
Ответ: 40320
Сколько может быть случая выбора 2 карандашей и 3 ручек из пяти различных карандашей и шести различных ручек?
Ответ:200
Сколько способов раздачи карт на 4 человека существует в игре «Верю ‑ не верю» (карты раздаются полностью, 36 карт).
Ответ:
.В течении 30 дней сентября было 12 дождливых дней, 8 ветреных, 4 холодных, 5 дождливых и ветреных, 3 дождливых и холодных, а один день был и дождливым, и ветреным, и холодным. В течение скольких дней в сентябре стояла хорошая погода.
Ответ: 15
На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз?
Ответ: 480, 437
Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»?
Ответ: 9
Сколько существует четных пятизначных чисел, начинающихся нечетной цифрой?
Ответ: 25000
В книжный магазин поступили романы Ф. Купера «Прерия», «Зверобой», «Шпион», «Пионеры», «Следопыт» по одинаковой цене. Сколькими способами библиотека может закупить 17 книг на выбранный чек?
Ответ:: 2985
Список используемой литературы
Савина Л.Н., Попырев А.В. «КОМБИНАТОРИКА» издательство Елабужский государственный педагогический институт 1999г
Халамайзер А. Я. «Математика? – Забавно!» издание автора 1989г
Интернет
http:\www.mathclub.zala.ru/0921.html