Конспект лекций по дискретной математике (стр. 2 из 14)
f(x1, x2, ... , xi-1, 0, xi+1, ... , xn) = f(x1, x2, xi-1, 1, xi+1, ... , xn).
Функция запрета x1Dx2 принимает значение, равное нулю при равенстве запрещающей переменной (x2) единице и повторяет значение аргумента x1 при равенстве запрещающей переменной нулю.
Понятие импликации в Булевой алгебре отождествляется с выражением следования (если ... то ... ).
Пример: Имеют место два простых высказывания.
А. На небе тучи.
В. Идет дождь. В®А
| А | В | В®А |
| f | f | t |
| f | t | f |
| t | f | t |
| t | t | t |
Из истины не может следовать ложь!
Некоторые функции от трех переменных.
| Значение аргументов | Значение функций | ||||
| Сумма по модулю 2 | Исключающее ИЛИ | Функция мажоритарности | |||
| x1 | x2 | x3 | x1Åx2Åx3 | XOR (x1,x2,x3) | x1#x2#x3 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Функция - сумма по модулю 2 и исключающее ИЛИ являются эквивалентными только для двух аргументов.
n
Общее разнообразие функций от n аргументов равно 22
В самом компактном виде любую Булеву функцию можно представить символически:
, где n-количество аргументов, а N-десятичный эквивалент двоичного набора значений функции на упорядоченном множестве аргументов.Пример:
f3(x)=x1Åx2Åx3=
Невырожденные функции от двух переменных с добавлением функции отрицания принято называть функциями Булевой алгебры. С учетом обращаемости некоторых базовых функций к некоторым аргументам, их общее количество равно девяти.
Нормальные формы Булевых функций
Нормальные формы - это особый класс аналитических выражений, используемых при решении задачи минимизации Булевых функций и для перехода от табличной формы задания к аналитической. Нормальные формы строятся на основании операций конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, причем отрицание только единственной переменной.
Определение: Элементарной конъюнкцией (дизъюнкцией) называется конъюнкция (дизъюнкция) конечного числа попарно различимых переменных или их отрицаний.
Элементарную конъюнкцию (дизъюнкцию) принято называть конъюнктивным (дизъюнктивным) термом.
В частном случае терм, как конъюнктивный так и дизъюнктивный может состоять из единственной буквы (литерала). Под буквой будем понимать аргумент Булевой функции и его отрицания.
Примеры конъюнктивных термов:
_ _
x1, x2, x1x3, x2x4x5 (терм)
___ _
x1x2, x1x2x3 (не терм)
Рангом терма называется количество букв входящих в него.
Дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формой Булевой функции называется дизъюнкция (конъюнкция) конечного числа попарно различимых конъюнктивных (дизъюнктивных) термов.
Каноническая нормальная форма.
Конституентой единицы (нуля) называется конъюнктивный (дизъюнктивный) терм максимального ранга. Т.е. для Булевой функции от n переменных конституента включает в себя n букв.
Свойство конституенты: Конституента единицы (нуля) принимает значение единицы (нуля) на одном и только одном наборе аргументов.
Пример: _ _
n=4 x1x2x3x4 (1010)=1
_ _ _
x1Úx2Úx3Úx4=0
Определение: Дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма называется канонической, если все ее дизъюнктивные (конъюнктивные) термы представляют собой конституенты единицы (нуля). Иногда канонические формы называют совершенными.
Пример получения канонических форм:
y=x1Åx2
| x1 | x2 | y | Конституента единицы | Конституенты нуля |
| 0 | 0 | 0 | - | x1Úx2 |
| 0 | 1 | 1 |  1x2 | - |
| 1 | 0 | 1 | x1 2 | - |
| 1 | 1 | 0 | - | 1Ú 2 |
КДНФ - каноническая дизъюнктивная нормальная форма:
_ _
y=x1x2Úx1x2
ККНФ - каноническая конъюнктивная нормальная форма:
_ _
y=(x1Úx2)(x1Úx2)
1) С помощью канонических форм наиболее просто осуществляется переход от табличной формы задания Булевой функции к аналитической.
2) С помощью канонических форм можно осуществить преобразование любой функции в Булев базис.
3) Любая Булева функция за исключением логического нуля и логической единицы имеет единственные КДНФ и ККНФ. Логическую единицу можно представить в виде КДНФ и логический ноль в виде ККНФ.
4) Правило перехода от табличной формы задания Булевой функции к аналитической:
а) в таблице истинности выделяются все наборы аргументов, при которых функция равна единице (нулю).
б) для каждого из этих наборов составляют конституенты единицы (нуля).
в) объединением конституенты единицы (нуля) знаками дизъюнкции (конъюнкции) получается аналитическая форма в виде КДНФ (ККНФ).
Пояснение: при составлении конституент единицы (нуля) используют следующее правило:
Если некоторый аргумент принимает на наборе значение равное нулю, то в конституенту единицы он входит с отрицанием, а в конституенту нуля без него.
5) КДНФ и ККНФ представляют собой две различные, но эквивалентные аналитические формы булевой функции. Это означает, что из одной формы можно получить другую, используя законы Булевой алгебры.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
y=(x1Úx2)(x1Úx2)=x1x1Úx1x2Úx2x1Úx2x2=x1x2Úx2x1=x1x2Úx1x2 (КДНФ)
6) Принципиально существует другой способ получения ККНФ:
а) составляется КДНФ, но не для самой, а для ее отрицания.
б) берется отрицание над полученной КДНФ, которое снимается с применением закона двойственности.
_ _ _ = ------------ ----- ---- _ _
y=x1x2Úx1x2, y=y=x1x2Úx1x2=x1x2 x1x2=( x1Úx2)(x1Úx2)Разнообразие двоичных алгебр
В связи с тем, что любую сколь угодно сложную Булеву функцию можно представить в канонических формах, то есть записать ее с помощью операций отрицания, конъюнкции и дизъюнкции эта система Булевых операций обладает свойством функциональной полноты, т.е. образует так называемый базис. Естественно предположить, что система Булевых операций является не единственной, с помощью которой можно образовать некоторый базис.
В принципе любую из базовых функций можно отождествить соответствующей операцией и на основе совокупности этих операций построить двоичные алгебры, отличные от Булевой. К наиболее распространенным двоичным алгебрам относятся: алгебра Жигалкина (Å, &); алгебра Вебба (Пирса) (¯); алгебра Шеффера ( | ). В каждой из этих алгебр действуют собственные законы. Естественно существуют взаимно однозначные переходы от операций одного базиса к операциям другого.
Числовое представление Булевых функций
Для любой Булевой функции можно предложить две числовые формы, основанные на перечислении десятичных эквивалентов наборов аргументов на которых функция принимает значение единицы (нуля).
f3(x)=
(0,2,6,7) - от этой числовой формы легко перейти к КДНФ путем замены каждого из наборов в перечислении конституенты единицы._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
y=x1x2x3Úx1x2x3Úx1x2x3Úx1x2x3=x1x3(x2Úx2)Úx1x2(x3Úx3)=x1x3Úx1x2 (ДНФ)
f3(x)=
&(1,3,4,5)