Конспект лекций по дискретной математике (стр. 4 из 14)
В качестве минимальной еще одного покрытия можно использовать множество максимальных кубов
|0x1
c2(f)=|x1x
Действительно, куб 0х1 покрывает существенные вершины 0х1É(001, 011), а куб x1xÉ(010, 011, 110, 111).
Множество максимальных кубов булевой функции всегда является ее покрытием.
Покрытие c2(f) соответствует ДНФ вида х1х3vx2. Эта ДНФ является минимальной. Покрытие булевой функции, которое соответствует минимальной ДНФ называется минимальным покрытием.
Минимальное покрытие должно состоять только из максимальных кубов.
В частном случае все множество максимальных кубов является минимальным покрытием. Это справедливо для нашего примера. В общем случае множество максимальных кубов является избыточным и для получения минимального покрытия достаточно взять некоторое его подмножество.
Пример : f3(x)=V(0,1,4,6,7)
(f=1)
|000 (1) |00x (1-2)
|001 (2) |x00 (1-3)
K0(f)=|100 (3) K1(f)=|1x0 (3-4)
|110 (4) |11x (4-5)
|111 (5)
Для данного примера множество максимальных кубов совпадает с комплексом K1(f). Z(f)=K1(f)
Минимальными покрытиями являются
|00x |00x
с1(f)=|11x c2(f)=|11x
|x00 |1x0
Из анализа покрытия существенных вершин максимальными кубами из комплекса K1(f) следует :
1) Куб 00х должен обязательно включаться в покрытие, так как только он покрывает существенную вершину 001, аналогично 11х покрывает 111.
Множество максимальных кубов без которых не может быть образовано покрытие булевой функции называется ядром покрытия T(f)=|00x
|11x
2) Так как ядром покрытия кроме существенных вершин 001 и 111 покрываются также существенные вершины 000 и 110, то не покрытой ядром остается только существенная вершина 100. Для ее покрытия достаточно взять 1 из оставшихся максимальных кубов (х00 или 1х0).
Выводы :
Задача получения минимальной ДНФ сводится к задаче получения минимального покрытия.
Получение минимального покрытия реализуется в таком порядке : а) Находится множество максимальных кубов б) Выделяется ядро покрытия в) Из максимальных кубов, не вошедших в ядро, выбирается такое минимальное подмножество, которое покрывает существенные вершины, не покрытые ядром.
Цена покрытия.
Цена r-куба представляет собой количество несвязанных координат. Sr=n*r
Для оценки качества покрытия используют два вида цены покрытия :
m
1) Sa=åSrNr, где Nr - количество r-кубов, входящих в по-
r=0
крытие,m- максимальная размерность куба. Цена Saпредставляет собой сумму цен кубов, входящих в покрытие.
2) Sb=Sa+k, где k - количество кубов, входящих в покрытие
m m
Sa =å(n-r) Nr ; Sb=å(n-r)(Nr+1)
r=0 r=0
Под минимальным покрытием понимают покрытие, обладающее минимальной ценой Sa по сравнению с любым другим покрытием этой функции.
Можно показать, что покрытие, обладающее минимальной ценой Sa обладает также и минимальной ценой Sb.
Пример : f3(x)=V(0,1,4,6,7)
(f=1)
C0(f)=K0(f) ; Sa=5*3=15 ; Sb=Sa+5=20
C1(f)=K1(f) ; Sa=4*2=8 ; Sb=Sa+4=12
Cmin(f) : Sa=3*2=6 ; Sb=9
Цена покрытия Sa представляет собой количество букв, входящих в ДНФ, которая соответствует данному покрытию.
Цена Sb представляет для ДНФ сумму количества букв и количества термов.
Цена покрытия хорошо согласуется с ценой схемы по Квайну, которая строится по нормальной форме, соответствующей этому покрытию.
Для приведенной схемы цена по Квайну SQ=9=Sb (9-число входов).
В принципе, между SQ и ценами Sa и Sb существует соотношение Sa£ SQ£ Sb Это неравенство имеет место при следующих допущениях по комбинационной схеме :
1) Схема строится по нормальной форме (ДНФ или КНФ).
2) Схема строится на элементах булевого базиса (И, ИЛИ).
3) На входы схемы можно подавать как прямые, так и инверсные значения входных переменных, представляющие собой значения аргументов булевой функции (схема с парафазными входами). Элементы НЕ (инвертора в схеме отсутствуют.
Нулевое покрытие булевой функции и получение минимальной КНФ.
Выше было рассмотрено покрытие булевой функции на наборах аргументов для которых функция равна единице.
Такие покрытия можно назвать единичными. Наряду с единичными покрытиями существуют и нулевые, для которых покрываются наборы аргументов, на которых функция равна нулю, то есть покрытие реализуется для существенных вершин, но не самой функции, а ее отрицания (инверсии).
Нулевое покрытие строится также как и единичное, но только для отрицания исходной функции.
f3(x)=V(0,1,4,6,7) f3(x)=&(2,3,5)
(f=1) (f=0) _ |010
K0( f )=|011
_ _ |101
C0( f )= K0( f ) Sa=9 Sb=12
_ _ _
K1( f )=|01x Z( f )=Cmin( f )=|01x Sa=5 Sb=7
|101
Цена минимального нулевого покрытия оказалась меньше цены минимального единичного покрытия.
Так как заранее предсказать невозможно, какое из минимальных покрытий данной функции, единичное или нулевое, будет иметь меньшую цену, то для построения схемы, обладающей минимальной ценой по Квайну, целесообразно решать задачу минимзации в отношении обоих покрытий.
Импликанты булевой функции.
Системы импликант.
Решение задачи минимизации булевой функции методом Квайна и усовершенствованным методом Квайна-МакКласски базируется на понятиях импликант и их систем.
Определение : Булева функция g(x) называется импликантой булевой функции f(x), если для любого набора аргументов, на которых g(x)=1, f(x) также равна единице.
~ ~~
g( x )=1 => f( x )=1, где х - некоторый набор аргументов.
Свойства импликант :
1) Между импликантой и самой функцией существует отношение включения g(x)Ìf(x).
2) Можно утверждать, что для любого набора аргументов, на котором функция равна нулю, ее импликанта также равна нулю.
3) Если g(x) и j(x) являются импликантами функции f(x), то их дизъюнкция также является импликантой этой функции.
Простейшими примерами импликант могут служить конъюнктивные термы, входящие в ДНФ данной функции.
Пример : для f3(x)=V(0,1,4,6,7) (#)
(f=1) _ _ _
импликантами являются х1х2х3; х1х2х3; х1х2;...
Произвольная дизъюнкция этих термов также является импликантой функции.
Определение : Простой (первичной) импликантой булевой функции называется конъюнктивный терм, который сам является импликантой этой функции, но никакая его собственная часть уже не является импликантой этой функции.
Под собственной частью терма понимается новый терм, полученный из исходного, путем вычеркивания произвольного числа букв.
Для данного примера функции (#) простыми импликантами являются : _ _ _
х1х2х3; х1х2х3; х1х2;...
Множеству простых импликант можно поставить в соответствие множество максимальных кубов.
Определение : Дизъюнкция всех простых импликант булевой функции представляет собой ДНФ этой функции, которая называется сокращенной - СДНФ.
Для функции (#) из приведенного примера
_ _ _ _ _
СДНФ : y= х1х2v х1х2vх2х3v х1х3
Понятие «сокращенное» присвоено ДНФ в том смысле, что она, как правило, содержит меньшее количество букв и термов по сравнению с КДНФ. Для нашего примера КДНФ содержит 15 букв и 5 термов, а СДНФ - 8 букв и 4 терма.
Аналогиямежду импликантами и кубическим представлением Булевой функции
Любому кубу из К(f) можно поставить в соответствие конъюнктивный терм который можно рассматривать как импликанту булевой функции .Любой простой импликанте булевой функции соответствует максимальный куб ,и в свою очередь множество всех простых импликант соответствует множеству Z(f) всех максимальных кубов К(f).
Таким образом можно провести некоторую аналогию между сокращенной СДНФ и Z(f).
В отношении импликант булевой функции также как и в отношении кубов соответствующих им существует отношение покрытия.
Принято считать ,что импликанта покрывает некоторую существенную вершину или в общем случае некоторый куб из К(f) ,если значение импликанты на наборе аргументов представляющем данную существенную вершину равно 1 или в общем случае значение импликанты равно 1 для всех существенных вершин покрываемых кубом из К(f).
ПРИМЕР : импликанта х1х2 покрывает существенные вершины(110,111) и в свою очередь покрывает куб 11х.
Определение :множество импликант булевой функции образует полную систему импликант ,если любая существенная вершина булевой функции покрывается хотя бы одной импликантой этого множества.
Если считать ,что в полную систему импликант включаются импликанты только в виде конъюнктивныхтермов и не включает импликанты в виде дизъюнктивных термов ,то полной системе импликант можно поставить в соответствие некоторое множество кубов из К(f) образующих покрытие булевой функции f .
Так например ,кубам из кубического комплекса К°(f) соответствует полная система импликант ,представляющая собой множество конституент 1 данной функции f. В свою очередь множеству максимальных кубов Z(f),естественно образующих покрытие булевой функции ,соответствует полная система простых импликант.
Определение :система простых импликант называется приведенной ,если она является полной ,а никакая ее собственная часть уже не образует полную систему импликант.
Для функции y= x 1x 2Ú
1 2Ú 2 3Ú x 1 3 (*)