3). КОНСТРУКТИВНОЕ МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО.
Концепция метрич. пространства используется в конструктивной математике. Близкий смысл имеет также понятие рекурсивного метрического пространства.
Список { ,р}, где - некоторое множество конструктивных объектов (обычно слов в том или ином алфавите), р - алгоритм, переводящий любую пару элементов в конструктивное действительное число, названный Конструктивным математическим пространством, если при любых X, У, Z Î
выполняется: 1) р(Х, Х)=0, 2) р(Х, У) £р(Х, Z)+р(У, Z) (здесь и ниже термин "алгоритм" употребляется в смысле одного из точных понятий алгоритма). Множество и алгоритм р называются носителем и метрическим алгоритмом соответствующего Конструктивного метрического пространства, а элементы - точками этого Конструктивного метрического пространства. Из аксиом 1), 2) следует, что всегда р(Х, У)³0 и р(Х, У)= р(У, X). Две точки, X, YÎназываются эквивалентными (различными)в Конструктивном метрическом пространстве { , р}, если р(Х, У)=0 (соответственно р(Х,У)¹0).
III. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Роль «конструирования» в математике.
Математики действуют, применяя процесс «конструирования»; они «конструируют» сочетания все более и более сложные. Возвращаясь затем путем анализа этих сочетаний — этих, так сказать, совокупностей — к их первоначальным элементам, они раскрывают отношения этих элементов и выводят отсюда отношения самих совокупностей.
Это — процесс чисто аналитический, однако он направлен не от общего к частному, ибо совокупности, очевидно, не могут быть рассматриваемы как нечто более частное, чем их составные элементы.
Этому процессу «конструирования» справедливо приписывали большое значение и желали в нем видеть необходимое и достаточное условие прогресса точных наук.
Несомненно, что оно необходимо; но оно не является достаточным.
Для того чтобы конструирование- могло быть полезным,чтобы оно не
было бесплодным трудом для разума, чтобы оно могло служить опорой для дальнейшего поступательного движения, надо, чтобы оно прежде всего обладало некоторым родом единства, которое позволяло бы видеть в нем нечто иное,
чем простое наращивание составных частей. Говоря точнее, надо, чтобы в анализе конструкции выявлялось некоторое преимущество сравнительно с анализом ее составных элементов.
В чем же может заключаться это преимущество? Зачем, например, надо рассуждать не об элементарных треугольниках, а о многоугольнике, который ведь всегда разложим на треугольники? Это делается потому, что существуют свойства, принадлежащие многоугольникам с каким угодно числом сторон, которые можно непосредственно применить к любому частному многоугольнику.
Весьма часто, напротив, только ценой продолжительных усилий можно бывает найти эти свойства, изучая непосредственно соотношения элементарных треугольников. Знание общей теоремы освобождает нас от этих усилий. Если четырехугольник есть не что иное, чем соединенные рядом два треугольника, то это потому, что он принадлежит к роду многоугольников.
Конструирование становится интересным только тогда, когда его можно сравнить с другими аналогичными конструкциями, образующими виды того же родового понятия. Необходимо еще, чтобы было возможно доказывать родовые свойства, не будучи вынужденным обосновывать их последовательно для каждого вида. Чтобы достигнуть этого, необходимо вновь подняться от частного к общему, пройдя одну или несколько ступеней.
Аналитический процесс «конструирования» не вынуждает нас опускаться ниже, а оставляет все на том же уровне.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Анри Пуанкарэ, О науке, -М; «Наука», 1983 г.
2. Математическая энциклопедия, - М; «Советская энциклопедия», 1979 г., том II.
3. Фор Р., Кофман А., М. Дени-Папен, -М; Современная математика, «Мир», 1966г.
4. Марков А.А., Теория алгоритмов, -М; 1954 г.
5. Марков А.А., О логике конструктивной математики, -М; 1972г.