Кривые и поверхности второго порядка (стр. 1 из 2)

ЭЛЛИПС.

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта постоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса принято обозначать через F₁и F_2.

Пусть М—произвольная точка эллипса с фокусами F₁и F_2. Отрезки F₁М и F₂М (так же как и длины этих отрезков) называются фокальными радиусами точки М. Постоянную сумму фокальных радиусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:

F₁М + F₂М = 2а.

Расстояние F₁и F₂ между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фокусами F₁,F_2.

Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r₁ иr₂расстояния от точки М до фокусов (r₁ = F₁М, r₂ = F₂М). Точка М будет находиться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда

r₁ + r₂ = 2а.

Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r₁ иr₂ их выражениями через координаты х, у.

Заметим, что так как F₁ F₂ = 2с и так как фокусы F₁и F₂ расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); приняв это во внимание находим:

Заменяя r₁ иr₂, получаем:

Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки

М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведёмобе части равенства в квадрат, получим:

или

Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:

а²х² — 2а²сх + а²с² + а²у² = а⁴ — 2а²сх + с²х² ,

откуда

(а²—с²)х² + а²у² = а²(а²—с²).

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

;

а>с, следовательно, а²—с²>0 и величина b—вещественна.

b² = a²—c²,

тогда

b²x² + a²y² = a²b² ,

или

.

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Уравнение

,

определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси;обозначив эксцентриситет буквой ε, получаем:

.

Так как с<a, то ε<1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.

Заметим, что c²= a²—b²;поэтому

;

отсюда

и

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1— ε², тем меньше, следовательно, отношение

; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности b=aи ε=0.

Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся каноническим уравнением

Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью, т. е. что а≠b и, следовательно, ε=0. Предположим еще, что этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а>b.

Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии

от него, называются директрисами эллипса.

Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид

и .

Первую из них мы условимся называть левой, вторую—правой. Так как для эллипса ε<1, то

. Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эллипса; аналогично, левая директриса расположена левее его левой вершины. Частным случаем эллипса является окружность. Её уравнение имеет вид:

х² + у² = R².

ГИПЕРБОЛА.

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через F₁ иF₂, а расстояние между ними—через 2с.

Пусть М—произвольная точка гиперболы с фокусами F₁и F₂. Отрезки F₁М и F₂М (так же, как и длины этих отрезков) называются фокальными радиусамиточки М и обозначаются через r₁ и r₂(r₁= F₁М, r₂= F₂М). По определению гиперболы разность фокальных радиусов ее точки М есть постоянная величина; эту постоянную принято обозначать через 2а.

Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F₁и F₂. Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у, а фокальные радиусы F₁М и F₂М через r₁ и r₂. Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том и только в том случае, когда

r₁— r₂= ±2а.

Так как F₁F₂=2с и так как фокусы F₁и F₂ расположены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); приняв это во внимание находим:

, .

Заменяя r₁ и r₂,получаем:

.

Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у), когда точка М лежит на гиперболе.

Возведём обе части равенства в квадрат; получим:

,

или

.

Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем:

c²x² – 2a²cx + a⁴ = a²x² – 2a²cx + a²c² + a²y² ,

откуда

(c² – a²)x² – a²y² = a²(c² – a²) .

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

;